27 Регуляризация нормальных систем мнк.

В основе метода регуляризации лежат соображения о сглаживании аппроксимирующей ф-ии. Наиболее распространённой формой метода регуляризации явл-ся след-ая. Приближение отыскивается в виде коэф B_j выбирается из усл. выр-ия .Функционал подбирается из след-го ус-ия : если знач. этого функционала невелико, то функция g обладает опр-ой гладкостью. Пусть min достигается при нек-ых и

Рассм. Крайние случаи: λ=0 и λ очень большое.Имеем рав-во (*)

Если то система (**) имеет р-ие и на её р-ии правая часть (*) обращается в нуль. всегда, т.е нижняя грань достигается на знач B_j, к-ие явл. р-ями (**). Тогда g⁰(P) совпадает с интерполяционным мн-ом с узлами интерполяции P_j .При больших λ в функционале определяющим явл-ся 2-ое слогаемое, нижняя грань 1-го достигается на гладкой ф-ции. Следовательно можно ожидать, что при промежуточных знач λ ф-ии g^λ(P) будут гладкими и в то же время не очень сильно отличающимися от приближаемой ф-ии в заданных узлах.

28. Методы решения задачи Коши

На отрезке x нужно найти р-ние y(x) ДУ y’=f(x,y), (1)удовлетв при x = x₀ нач усл y(x₀)=y₀(2)Считаем, что усл сущ и единств р-ния зад Коши выполнены.[x_0, b] разбивается на интервалы чаще всего с постоянным шагом h ( h = x_n+1 - x_n ), и по какому-то решающему правилу наход знач y_n+1 = y(x_n+1). в качестве реш зад Коши числ методами получ табл, состоящую из 2 векторов:x=(x₀ , _{, …}x_n)–вектора аргументов и соответствующего ему вектора ф-ции y=( y_{0 ,…} y_n).Числ методы в кот для нахожд знач ф-ции в новой точке использ информация только об одной (предыд) точке,наз одношаговыми,о нескольких (предыд) точках,наз многошаговыми.Приближ р-ние y_m(x) ищут в виде (3) Здесь а знач i = 2, 3,…m находят по формулам, полученным (1): (4) Для знач x, близких к x₀, метод рядов (3) при достаточно большом знач m дает обычно хорошее приб-ние к точному р-нию y(x) задачи (1). Однако с ростом расстояния x - x₀  погрешность приближ р-тва y(x)  y_m(x), возрастает по абс величине,(3) становится неприемлемым, когда x выходит из области сходим соответствующего ряда (3) Тейлора.Если в (3) огран m = 1, то для вычисл новых знач y(x) нет необход пересчитывать знач производной, правда и точность р-ния будет невысока.

29. Метод Рунге-Кутта.

Для повышения точности вычисления значений функции требуется проведение дополнительных вычислений внутри интервала h, то есть между xi и xi+1. Метод Рунге-Кутта даёт набор формул для расчёта координат внутренних точек, требуемых для достижения точности, то есть ошибки на каждом шаге, порядка h4. Расчёты при использовании этого метода производятся по формуле

yi+1=yi+(k0+2k1+2k2+k3)/6

Здесь k0=h*f(xi,yi),

k1=h*f(xi+h/2, yi+k0/2),

k2=h*f(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=h*f(xi+h, yi+k2)

Метод Эйлера и его модификация по существу являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно. По сравнению с ними метод Рунге-Кутта обеспечивает более высокую точность. Это позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину.

32.Принцип Рунге заключ. в контроле точности числен. интегр. на основе двойного счёта(с шагом h и шагом h\2) Его применение считается правомочным, если выполн. нер-во:

Главным способом отслеживю точности при реализ. числен. процессов решения з.к. является принцип Рунге. Считается, что при использ. м-да p-го пор-каобсалютн шагов погр-ть должна наход. В пределах E>0.Тогда счёт осуществляется по системе узлов x_i(h)=x₀+ih с шагом h и по сист узлов x_j(h\2)=x₀+j*h\2 с шагом h\2. При чётных j 2-ая сист. будет совпадать с 1-й , т.е x_i(h)=x_2i(h\2).Переход от расчётной точки x_i с приближ. зн-ем решения в ней y_i к расч. т. X_i+1 1раз соверш. За шаг длины h и приводит к зн-нию y_i+1(h)=y(x_i+1(h)), другой раз за 2 шага длины h\2 и даёт зн-ие y_2i+2(h\2)=y(x_2i+2(h\2))= y(x_i+1(h)). Поправка Ричардсона в таком случ. сост. велич. R_i(h\2)=( y_2i+2(h\2)- y_i+1(h))\(2^P-1) Если модуль R_i(h\2)<E,то ошибка приближ. р-ва y(x_i+1)= y_2i+2(h\2) не превосх. 2. Если Если модуль R_i(h\2)>E,то следует уменьш. расчётн. шаг h. При условии если норма R_i(h\2)<<E стоит попытатся двиггатся дальше с более крупным шагом (например удвоить шаг h)