2)Метод Зейделя

МЗ – видоизменение МПИ реш. СЛАУ, приведенных к виду (2) при котором i-тые компоненты (k+1)-го приближения к искомому вектору используются уже найденные на этом, т.е. (k+1)-ом шаге , новые значения первых i-1 компонент. Это означает, что если с-ма Ax=b сведена к x=Bx+c, где В – матрица, с – вектор, то приближение к её реш. по МЗ определяется с-ой равенств :

, где k=1,2…; x_i⁽⁰⁾ - э-ты нач. вектора.

МЗ называют м. последовательных смещений, а МПИ – одновременных смещений.

Условия сходимости МЗ и МПИ одинаковы. Область сходимости этих методов не всегда совпадают, а если и совпадают, то скорость сх-ти у МЗ больше. Достаточное условие сходимости МЗ не совпадает с дост. усл. сх-ти МПИ, но если МПИ сх-ся, то сх-ся и МЗ.

3.Метод трехдиагональной матричной прогонки.

Два класса решения СЛАУ: прямые и итерационные. Прямые методы - методы, кот приводят к р-нию за конечное число арифм операций. Если операции реализуются точно, то и р-ние также будет точным.Число у-ний совпадает с числом вещх неизвестных, причем предполагается наличие единств р-ния.Итак, изучается ? о численном р-нии с-мы (1) или иначе, векторно-матричных уравненийАх=b. (1a) где b – вектор свободных членов x - вектор неизвестных координат, а А -n*n-матрица коэфф данной с-мы. Эффективность способов р-ния с-мы (1) во многом зависит oт структуры и свойств м-цы А: размера, обусловленности, симмет-ти, заполненности,специфики расположения ненулевых эле­ментов в матрице и др.Если м-ца А слабо заполнена, т.е. имеет немного ненулевых коэф. ищем реш. с-мы b_ix_i-1+c_ix_i+d_ix_i+1=r_i (2), где i= ; b₁=0, d_n=0. – Трёхточечные разностные у-ия второго порядка.

=

Чтобы избавиться от ненулевых эл-ов в поддиагональной части м-цы с-мы, предположим, что наборы чисел и (i= ). Подставляем в(2) (3) ; (4)

Р-ние с-мы сводится к нахождению прогоночных коэф. , по ф-лам (4) (прям прогонка), а затем получение неизв. по (3) (обратн прогонка). Прогонка наз. корректной, если знаменатели коэф.(4) не обращаются в нуль, и устойчивой если <1 i Если и у-ия (2) при i=2,...,n-1. –отличны от нуля и + i=1,2,…,n

 + 0, <1 , т.е. прогонка корректна и устойчива.

4. Задачи лин программ-ания(лп). Регуляриз задач лп.

L(x)= = min, (1); , ,(2); , J=1..n(3)

, m ,(4). из усл. (2) или (4) определяют полупр-во, ограниченное все эти усл. определяют выпуклый n-мерный многогранник J , кот. явл. пересечением соотв. полупр-в. Усл.(3) выделяют из n-мерного пр-ва (n-m)-мерную плоскость. Её пересечение с областью J даёт выпуклый (n-m)-мерный многогранник G, наша задача в том, чтобы найти мин лин ф-ии (1) в этом многограннике G.Примером такой задачи явл. распределение производства однотипной продукции по разным заводам. – выпускаемое i-ым заводом кол-во продукции ( ); - себестоимость 1-го изделия на этом заводе; - при j>m - расход сырья j-го вида при 2 - расход зарплаты и др. аналог. Показатели; - суммарный выпуск продукции по всем заводам.(4) – расход сырья по всем заводам, а L – себестоимость общей продукции.X – удовл. всем дополнит. усл. , наз. планом, решение(1)-оптимальным планом. А – вектор усл., В – вектор огр.Теоретически задача ЛП проста: достаточно вычислить ф-ии в конечном числе точек – вершинах многогранника и найти среди этих значений наименьшее. Сложность в том, что типичное в экономике число переменных – это сотни и даже тысячи.Приведём зад к каноническому виду, для этого введём в качестве новых переменных невязки усл. 3-го типа: , N=n+M-m (5) Доопределим коэфф. (1) следующим образом:

, при n<i , 1 . (6)

Каноническая форма з. ЛП:

Многогранник канонических усл. образован пересечением новой (N-M)-мерной пл-ти усл. с первым координ. углом. Значит у вершины часть координат – нули, а остальные >0.

Строки новой м-цы А линейно-независимы. Все ЛНЗ наборы столбцов А соотв. точкам пересечения пл-ти усл. с координатными гиперплоскостями.

Далее перенумеруем переменные так, чтобы первыми были базисные переменные (10) , 1 , i M эл-ты м-цы, обратной к базисной квадратной м-це, стоящей в левой части с-мы (1). Приравнивая внебазисные корд. к нулю и решая с-му, получим коорд. точки пересечения пл-ти усл. с корд. гиперплоскостью.

(11)

Если найденные координаты неотриц, то точка явл. вершиной многогранника канонических усл. Если хотя бы 1 <0 , эту точку надо отбросить и исследовать другой набор столбцов м-цы А . Если забракованы все точки, то это значит, что усл. 1-го и 2-го рода образуют несовместную с-му.

2)Регуляризация задач ЛП.Задача ЛП часто оказывается плохо обусловленной . поэтому не удаётся даже проверить, может ли реш. поставленной задачи.Для регуляризации задач ЛП будем искать нормальное реш. х, т.е. наименее уклон-ся от некоторого заданного х₀ (х₀- ранее составленный план).Возьмём (7). Дополнительное усл Ах=b, вводим штрафную ф-ию ²

²=min, >0 (12)

Усл. близости реш. к заданному вектору можно считать малость или малость величины [x]= ² , >0 (13)

Эту величину можно считать штрафом и прибавлять в качестве дополнит. слагаемого в левую часть (12), тогда получаем регуляризованную задачу:M[x]= ²+ 𝝀𝜴[x]=min , 𝝀, >0 (14).При решении (14) усл. неотрицательности можно не принимать во внимание M[x] – квадратичная форма, поэтому нахождение min сводится к решению с-мы линейных у-ий. Т.к. задача регуляризованна, то линейная с-ма будет хорошо обусловлена, тогда её реш. при большом числе неизв. N легко вычислить методом исключения Гаусса. Более сложно выбрать параметры регуляризации 𝝀, подбирают так чтобы выполнялось усл. , где -допустимая погр. выч., т.к. его компоненты и коэф. А известны неточно.Аналогично 𝝀 связывают с погр. и с допустимыми отклон. L(x) от min.

При численном реш. (14) приходится находить серию регуляриз. реш., соотв. разным знач. 𝝀 и и выбирать оптимальные параметры.