1.Прямые методы решения слау.

Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы - методы, кот приводят к р-ию за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным.Мы рассматриваем численное решение таких СЛАУ, у кот число ур-ний совпадает с числом не­известных, причем предполагается наличие единственного решения.Изучается вопрос о численном р-ии с-мы …(1) или иначе, векторно-матричных уравненийАх=b. (1a) где b – вектор свободных членов x - вектор неизвестных координатами, а А - n*n-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов р-ия с-мы (1) во многом зависит oт структуры и св-в матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности специфики расположения ненулевых эле­ментов в матрице и др.

Прямые методы решения СЛАУ:Метод Гау/сса.LU-разложение.Метод квадратного корня.

1) Метод Гаусса. Суть: последовательное исключение неизвестных. Поэтапно приводим систему к треугольному виду, исключая последовательно сначала x₁ из 2,3, …, n-го у-ний, затем x₂ из 3-го, 4-го,..,n-го у-ий преобразованной с-мы, и т.д. Для 1-го преобраз. коэф. ищем по ф-ле: . . где i,j=2,3…Продолжая этот процесс на (n-1)-ом этапе прямого хода МГ приведём с-му к треугольному виду. Треугольная структура с-мы позволяет последовательно вычислять знач. неизвестных , начиная с последнего. Этот процесс наз. обратным ходом МГ. ).Числа, на которые проводится деление в МГ, наз. ведущими или главными элементами. Главный элемент – наибольший эл-т в столбце (для исключения деления на нуль и уменьшая погрешность вычислений)

2)LU-разложение.

Если все главные миноры квадратной м-цы А отличны от нуля => ниж L и верх U треугольная м-цы, что A=LU. Если э-ты диагонали одной из м-ц L или U –фиксир.(ненулевые), то такое разложение единственно. u₁₁=a₁₁,…,u_1n=a_1n; l_n1u₁₁=a_n1, l_n1u_1n+ …+u_nn=a_{nn., .} (где i j)

. (где i>j)

Заменяем A в Ax=b =>LUx=b решаем с-му => сначала вычисляем y из Ly=b затем полученный результат подставляем в Ux=y и находим x.

3)Метод квадратного корня(М. Холецкого).Пусть A-симметричная м-ца (a_ij=a_ji). Представляем её в виде A= , где U= реш. с-мы сводится к реш. 2-ух треугольных с-м : и нах. По ф-лам:

Замечание: Вычислительные затраты на операции умножения и деления в МГ- О( ) , в МКК- О( )

2. Итерационные методы решения слау.

ИМ-м., в котором точное реш. мб получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных 1)Метод простых итераций.Дана с-ма Ax=b (1) , тем или иным способом преобразовывается в эквивалентную ей с-му:

x=Bx+c (2), где B и c – некоторые новые м-ца и вектор соответственно. Эту с-му можно трактовать, как задачу о неподвижной точке лино отображения B в пр-ве и по аналогии со скалярным случаем определить посл-ть приближений к неподвижной точке рекурентным р-ом

, (3) k=0,1,2,… - Итерационный процесс(3) , начиная с некот. ^T –наз. МПИ.

Условия сходимости МПИ:а)Условие, что все собственные числа В по модулю меньше 1, явл. необх. и дост. для того чтобы 1) 0, при k (k N); 2)(E-B)- имела обратную (E-B)^-1=E+B+B²+…+B^k+…

Б). Если , то(E-B) имеет обратную (E-B)^-1= и при этом справедливо нер-во:

Т. Пусть Тогда начальном x⁽⁰⁾ МПИ сх-ся к единственному реш. задачи (2) и k N справедливы оценки погр.: 1) – апостериорная.

2) –априорная.

Замечание: 1) Априорная оценка как правило, грубее апостериорной.2)Априорная оценка позволяет подсчитывать заранее число итераций k , достаточное для получения реш. x^* с заданной точностью _ε. Для этого нужно найти наименьшее целое реш. нер-ва: -относительно k;3)За x⁽⁰⁾ обычно принимают вектор с - свободных членов (2) т.к. В “мала”  Bx “мал”  x^* не должен сильно отличаться от с.