38. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы.

Пусть имеем хар Ур-ние D(λ)=det(A- λE)=0. Корни этого уравнения λ₁, λ₂,…, λ_n явл. собств. зн-ми м-цы А. Пусть им соответствуют линейно независим. собств. вектора x¹,x²,…,xⁿ. Рассм. итерационный метод вычисления наиб. по модулю собств. зн-ия м-цы А не требующего раскрытия опр-ля.

Пусть среди собств. зн-ий м-цы А есть одно наиб. по модулю. Для определенности положим |₁| > |₂|>=…>= |_n| (1). Наиб. по модулю явл. 1-ое собств. зн-ие. Очевидно, что для действительной матрицы наибольшее по модулю собственное значение λ₁ будет действительным. Такой случай всегда имеет место, если матрица А действительна и её элементы положительны.

Определим λ₁ для этого возьмем произвольный вектор y = (y₁…y_n)^Т и разложим его по собственным векторам матрицы А.

, где с_j – постоянные коэффициенты .

Произведя преобразования А над вектором y получим: .

Отсюда т.к. x^j собственный вектор преобразования А получим, что Аx^j= λx^j и тогда: . Величину Ау называют итерацией над вектором у.

Последовательно образуя итерации Ay, A²y, …, A^my=y^m, находим m-тую итерацию: (2) – m-тая итерация.

Пусть y^m=A^my m=1,2,… и , где y_i^m координаты y^m в выбранном базисе е₁,е₂,…е_n.

Разлогая собственные вектора x^j по векторам базиса можем записать выражение для составляющих вектора у:

(3)

(4)

Разделив (4) на (3) будем иметь: (5)

Пусть и , что можно всегда получить выбирая надлежащим образом вектор у и базис (е₁,…е_n). Преобразуем выражение (5) к виду:

.

Переходя к и учитывая (1) получим: (6)

Можем записать: (7) ;

Для достаточно большого номера итерации m можем с любой степенью точности с помощью (7) определить наибольшее по модулю корень λ₁ характеристического уравнения матрицы А. Для получения более точного значения корня λ₁ следует взять среднее арифметическое из суммы отношений координат вектора у.

Собственный вектор матрица А соответствующий λ₁ приближенно можем взять пологая что: x¹=y^m=A^my, т.к. A^my=c₁ λ₁^mx¹ т.е. A^my лишь числовым множителем отличается от собственного вектора x¹ и поэтому является собственным вектором соответствующим λ₁.

11. Методы решения систем нелинейных уравнений. Квазиньютоновские методы.

Нелокальный метод Ньютона.

Будем полагать ,что а) ,

б) , c)

(2) ,

(3)

(4) if GoTo на конец просчета else

и GoTo (2)

Справедливо

(5)

-верхняя граница ;

(6)

(2) в (6): (7) +

Пусть , ,

, ,

В силу (4) означает => .

< = .

Итак { } { } ,(8) lim = lim = lim

Из (7)=>(9)

Из (9)=> { } , (10) lim => =1

Теорема: Пусть оператор f, -начальная шаговая длина и -нач. приближение удовлетв. Услов.(а, б, с), тогда итерац. Пр.(2),(3).(4) со сверхлин. С лок. Квадратич. Скор. Сходится к решению уравнения (1).

(11)