
- •1.Прямые методы решения слау.
- •2)Lu-разложение.
- •2.Метод трехдиагональной матричной прогонки.
- •4. Задачи линейного программирования(лп). Регуляризация задач лп.
- •5.Регуляризация плохо обусловленных слау.
- •7. Принцип сжатых отображений в огр.Обл. Банахова пр-ва.
- •6.Обзор задач линейной алгебры. Уточнение эл-ов приближ. Обратной ма-цы .
- •8.Методы решения нелинейных одномерных у-ий.
- •9 Не лок метод Ньют (квазиньют процесс)
- •26 Полиномы Чебышева(пч)
- •33.Жёсткие начальные задачи. Неявный метод Эйлера и его устойчивость.
- •34.Жёские начальные задачи. Неявный метод средней точки и его устойчивость.
- •35.Жёсткие задачи. Неявный метод трапеций и его устойчивость.
- •25.Аппроксимация функции с помощью кубического сплайна
- •15,Численное дифференцирование
- •10,Метод секущих
- •38. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы.
- •11. Методы решения систем нелинейных уравнений. Квазиньютоновские методы.
- •12. Интерполирование. Конечные разности, разностные отношения и их свойства.
26 Полиномы Чебышева(пч)
ПЧ – полином наименее отклоняющийся от 0 на отрезке [-1;1].
Мн-ном Чебышева наз-ся ф-ция: Tn(x) = cos(n*arcos(x)), n из N, x из [-1;1].
n=0, T0=1 n=1, T1(x)=x.
α = arcos(x) -> Tn-1 = cos((n-1)* α), T(n+1) = cos((n+1)* α)
cos((n+1)*α) = cos(n*α)*cos(α) – sin(n*α)*sin(α)
cos((n-1)*α) = cos(n*α)*cos(α) + sin(n*α)*sin(α)
cos((n+1)*α)+ cos((n-1)*α) = 2* cos(n*α)*cos(α)
Tn+1(x)+Tn-1(x) = 2xTn(x) => (2) Tn+1(x) = 2xTn(x)-Tn-1(x)
T2(x) = 2x2-1
T3(x) = 2x(2x2-1)-x = 4x3-3x
Анализ формулы (2) позволяет утверждать след:
1.все ф-ции многочлены степени эн
2.все степени возростают с ростом эн, старший коэфф имеет вид 2n-1xn
3.при четн эн все степени четные
Св-ва:
1.многочлен имеет на [-1;1] ровно эн различн действ корней
2.корни ПЧ перемежаются с точками их наиб и наим знач = -1 и 1
3.из всех мн-нов степ эн нормир ПЧ отклоняется от 0 наим на [-1;1]
если в качестве узлов интерполирования братькорни ПЧ то остаточный член будет иметь вид: Rn(f,x)<=((b-a)n+1/22n+1)Mn+1
33.Жёсткие начальные задачи. Неявный метод Эйлера и его устойчивость.
опр. обл. устойчивости метода - наз. мн-во всех точек компл. обл. для которых итерац проц применимый к модельному ур-нию
даёт устойчивый
процесс.
Опр. Процесс наз-ся А-уст. Если облость его устойчивости расположена в левой полуплоск. Комплекс. Плоскости
Метод эйлера
(он условно устойчив)
Неявный метод
эйлера
(абсолютно устойчив)
,
,
,
,
<1
,
<1
,
,
>1
Тоесть доказали
уст.
34.Жёские начальные задачи. Неявный метод средней точки и его устойчивость.
опр. обл. устойчивости метода - наз. мн-во всех точек компл. обл. для которых итерац проц применимый к модельному ур-нию
даёт устойчивый процесс.
Опр. Процесс наз-ся А-уст. Если облость его устойчивости расположена в левой полуплоск. Комплекс. Плоскости . пусть дана система
, Неявный метод
средней точки наз.
– модельн. Задача
,
,
,
<1
,
,
,
u<-u,
2u<0,u<0
следовательно неявный метод ср.т. –
УСТОЙЧИВ
35.Жёсткие задачи. Неявный метод трапеций и его устойчивость.
опр. обл. устойчивости метода - наз. мн-во всех точек компл. обл. для которых итерац проц применимый к модельному ур-нию
даёт устойчивый процесс.
Опр. Процесс наз-ся А-уст. Если облость его устойчивости расположена в левой полуплоск. Комплекс. Плоскости .
Неявный метод
трапреций -
,
,
,
<1
,
<1
,
,
Раскрываем мод,
получ. u<-u,
u<0
тоесть наш метод А-уст.
25.Аппроксимация функции с помощью кубического сплайна
Сплайны – многочлены 3-ей степени, построенные специальным образом.
Для пары соседних
узлов многочлен имеет вид:
Для определения коэффициентов а, b, c, d на всех (N-1) отрезках необходимо получить 4*(N-1) уравнений.
Часть уравнений
составляется из условия прохождения
функцией (х)
через заданные точки эксперимента
, j=2,3…N
Так получаем 2*(N-1) уравнений.
Для получения
недостающих уравнений используем
условие непрерывности 1-ых и 2-ых
производных в узлах интерполяции.
Приравнивая в каждом внутреннем узле
значение этих производных, вычисленных
в правом и левом от узла интерполяции
интервалах, получим еще 2*(N-1)-2
уравнения:
Ещё 2 уравнения получим из условия закрепления концов сплайна. При свободном закреплении концов можно приравнять к нулю кривизну линий в этих точках (эта функция – свободный кубический сплайн) 2-ые производные в этих точках равны нулю.
С целью экономии машинного времени:
Сначала находят
аj-1=
yj-1,
затем
Далее подстановкой
и
В окончательном
виде получим с1=0,
сN-1=0,
По найденным сj находят b и d.
На каждом интервале своя сплайн функция.
При интерполяции сплайнами следует чаще выбирать узлы интерполяции на нелинейных участках изменения функции.