8. Признаки существования предела.

Первый признак существования предела: величина, заключенная между двумя другими, имеющими один и тот же конечный предел, имеет тот же предел.

Док-во: Пусть есть ф-ция f(x) такая, что φ(х)<f(x)<ψ(x) (1).

При x→x₀, lim φ(x)=A, lim ψ(x)=A. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0,

то для всех x≠x₀ и удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ будут верны одновременно неравенства:

φ(x)-A|<ε, |ψ(x)-A|<ε (2) или A-ε<φ(x)<A+ε, A-ε<ψ(x)<A+ε.

Из (2) следует, что A-ε<f(x)<A+ε, т.е.: |f(x)-A|<ε. А это и означает, что x→x₀ lim f(x)=A.

Второй признак существования предела: Если величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу.

34(9) Первый и второй замечательные пределы. Их следствия. Первый замечательный предел

Док-во:имеем окр радиуса=R.построим соотвествующие фигуры где   — площадь сектора  )

( из  :  )

предположим,что x>0,тогда sinx>0,тогда знак деления не изменится при делении на sinx,

Перейдём к пределу:

Следствия

  На основании связи ББ и БМ величин имеет место следующее нер-во:   второй замечательный предел

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

 для  , 

35(10)Таблица эквивалентных бесконечно малых

11. Непрерывность отображения. Непрерывность числовой функции одной переменной, нескольких переменных.

Ф-ция f(x) наз. непрерывной в точке x₀ слева, если существует предел этой ф-ции слева и он = значению f(x₀). При x→x₀-0 lim f(x)=f(x₀-0)=f(x₀). Аналогично и для непрерывности справа. Если ф-ция непрерывна как слева, так и справа в т. x₀, то она непрерывна в самой т. x_0. Отсюда вытекает: f(x₀-0)= f(x₀+0)=f(x₀). Таким образом, ф-ция непрерывна в т.x₀, если при x→x₀ lim f(x)= f(x₀). БМ приращению аргумента x будет соответствовать БМ приращение ф-ции y=f(x): при ∆x→0 lim ∆y=0. Аналогично и для ф-ции нескольких переменных.

П о определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

Можно ввести приращение Δu функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов Δu = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) и на этом языке определить непрерывность f(x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

Если условия непрерывности нарушены, то ф-ция терпит разрыв.

37(12)Точки разрыва,классификация точек разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной в точке  , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке  , то есть  .Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом. Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа. Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. иногда точку разрыва 1–го рода еще называют устранимой точкой разрыва Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

 частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так,  и т.д. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной

 формулу для вычисления полного дифференциала.

или где — частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теоре.(достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'_x и z'_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

38(13)

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - .Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки . Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения и , что , причем . Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ). Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где . Т.е. если , то . Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство . Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности зависит от и . Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 1 Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3 Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

Доказательство. Действительно, постоянные и -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .

Теорема 2 Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Теорема 3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .

Теорема 4 Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .