4.Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие, отделимые от нуля величины. Их свойства.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Свойства:

1)Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

2)Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

3)Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

4)Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Величина f(x) называется ограниченной на множестве А, если существует М>0 такое, что для всех х€А выполняется неравенство |f(x)|≤M.

5.Простейшие свойства пределов.

1) Предел постоянной величины. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы.Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций. Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину. Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

31(6) Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенствоf(x)>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию0 < x - a <  Записывается .Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1)  ~ , 2) Если  ~  и  ~ , то  ~ , 3) Если  ~ , то  ~ , 4) Если  ~ ₁ и  ~ ₁ и , то и или . Следствие: а) если  ~ ₁ и , то и б) если  ~ ₁ и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Свойства эквивалентных бесконечно больших функций.

1.Если и – эквивалентные бесконечно большие функции при x → a, то их разность имеет меньший порядок роста. Действительно,

2.Если и – бесконечно большие функции одного и того же порядка при x → a, то и являются эквивалентными бесконечно большими функциями: Иначе говоря, бесконечно большие функции и асимптотически пропорциональны при x → a.

1.Если бесконечно малая имеет меньший порядок роста по сравнению с при x → a, то

В таких случаях говорят, что – пренебрежимо малая величина по сравнению с .

32(7)

Теорема о предельном переходе в неравенстве. 

Если величины f(x) и g(x) имеют пределы а и b соответственно,то при f(x) <= g(x) будет справедливо нер-во a<b. .вопрос о существовании предела чаще всего решается путем непосредственного вычисления однако в ряде случаев например при выполнении теоретических исследований важно знать достаточные признаки существования пределов, не обращаясь непосредственно к его вычислению .

Или:

 Пусть  \\  тогда

Доказательство. (от противного)

Пусть  .

 - противоречие.

Или:

Теорема 11. Если   и, начиная с некоторого номера, выполняется    , то    .

Доказательство. Пусть с некоторого номера выполняется  . Предположим, что  . Так как  , то для   существует такой номер N, что для всех   выполняется   или  , откуда получаем  , что противоречит условию. Случай   рассматривается аналогично.