1.Понятие отображения. Числовая функция одной переменной, нескольких переменных, вектор-функция скалярного аргумента.
Отображение-это закон, по кот каждому эл-ту некот заданного множества Х ставится в соответствие вполне определенный эл-т другого заданного множества У. Такое соотнош между эл-ми х и у записывается так : y=f(x); y=y(x); f: X→Y. Говорят, что отображение f действует из Х в У. Множ Х наз. областью определения отображ, а множ У-множеством значения отображ, при этом {y=f(x); xϵX}ϲY. Два отображения f и g наз равными, если обл их опред совпадают и кроме того f(x)=g(x) для любых хϵХ. Если заданы 3 множ X,Y и Z и на Х определено отображ f со знач в У, а на У задано отображ g со знач в Z, то сущ отображ h со знач в Z и обл опред в Х, определяемое равенством h(x)=g(f(x)). Это отображ наз композицией отображений fи g. Обозн f g. Порядок записи f и g играет большую роль.
Отображение X→Y наз числ ф-ей одной перем, если ХϲR, YϲR. Ф-ция может быть задана: 1)таблицей; 2)графически; 3)аналитически. Осн элементар ф-ции: степенная, показат, логарифмич, тригоном, обрат тригоном. Элементар ф-ми наз ф-ции, кот можно образовать с пом основных элементар ф-ций путем применения конечного числа арифм действий и операций взятия ф-ций от ф-ций. Классификация ф-ций:
Целые(полиномы): ф-ции вида Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…..+anxn; ai-коэфф полинома,aiϵR; n-степень полинома,nϵN; Дробно-рац: ф-ции вида R(x)=Pm(x)/Qn(x); Множ рац ф-ций: объединение цел и дроб-рац ф-ций, они хар-ся тем, что при их вычислении исп след действия: +,-,*,\ и возв в цел степень; Иррац: ф-ции, кот вычисл с пом тех действий, что и рац+извлеч корня, рез не явл рац ф-цией. Алгебраич:объединение множеств рац и иррац ф-ций; Трансцен: всякая неалгебр ф-ция, нельзя представить при пом конеч множ алгебр операций.
Отображение X→Y наз числ ф-ей n перем, если XϲRn, YϲR. В общем виде y=f(x1,x2,..,xn). Классиф подобно ф-ции 1 перем.
Отображение X→Y наз вектором ф-ции скаляр аргумента, если XϲR, YϲRn. Задание одной вектор-ф-ции равносильно заданию n скалярных ф-ций.
2.Определение метрического пространства.
Множ Х наз метрическим пространством, если двум его любым эл-там х и у сопост действит число ρ(x,y), причем выполн след аксиомы метрики:
1) ρ(x,y)>=0, ρ(x,y)=0, <=> x=y;
2) ρ(x,y)= ρ(y,x);
3) ρ(x,y)<= ρ(x,z)+ ρ(z,y);
Эл-ты множ Х наз точками метрич пр-ва; ф-ция p(x,y) выраж расст между х и у.
Во множ действит чисел метрика p(x,y) задаётся абс величиной разности чисел: ρ(x,y)=|х-у|.
Например,
если в Е3
задать
СП , то метрику ρ(x,y)=
Можно задать как расст между точек этого пр-ва. При этом мы считаем, что задан ортонормир базис. Опред таким образом месрика наз евклидовой.
Множ АϲХ, где Х-метрич пр-во, наз огранич, если расст между его двумя любыми точками < некот числа а. Примером явл ф-ция y=sin x, т.к. все знач ф-ции закл между 1 и -1.
Множ АϲХ, где Х-метрич пр-во, наз неогранич, если для любого действит положит а найдутся такие точки х1 и х2ϵА, что расст между ними будет >а. Напр ф-ция y=1/x – неогранич
Пусть в метрич пр-ве Х выбрана т.а и указано некот положит число ε. Множество эл-в хϵХ таких, что p(x,а)<ε наз ε-окрестностью, ε-радиус окрест, т.а-ее центр.
3. Предел отображения. Предел числовой функции одной переменной, нескольких переменных. Предел последовательности. Предел в бесконечно удаленной точке. Односторонние пределы.
Предел отображения. Пусть Х и У – метрич пр-ва, в кот введены метрики ρx и ρy, с пом кто опред расст. Пусть также задано отображение X→Y, при этом может оказаться, что сближение т.х с т.х0, т.е. стремление к 0 метрики, влечет сближение f(x)→f(x0). Эл-т у0 наз пределом отображения f(x) в т.х0, если для люб ε>0 сущ такое положит δ, зависящее от ε, что если удовл усл ρ(x,х0)<δ, то будет выполн усл ρ(f(x),y0)<ε. Всякое отображение y=f(x) метрич пр-ва может иметь при x→x0 не более одного предела.
Число у0 наз пределом ф-ции y=f(x), если для люб положит ε можно указать такое число δ, зависящее от ε, что для всех х, удовл усл |х-х0|<δ выполн нер-во |f(x)-y0|<ε.
Число z0 наз пределом ф-ции y=f(x,y), если для люб ε>0 сущ такое положит δ, зависящее от ε, что если удовл усл ρ(x,х0)<δ, то будет выполн усл ρ(f(x),y0)<ε.
Пусть хnϵX-метр пр-во. Эл-т х наз пределом последовательности {xn} , если для любого положит ε можно указать такое нат число n0, что n>n0, то ρ(xn,x)<ε. Важным частным случаем явл опред числовой последовательности: число x наз пределом числ послед xn, если дл всякого положит ε сущ такое натур число n0, зависящее от ε, что при всех n>n0 выполн нер-во |xn-x|<ε.
Число y0 наз пределом ф-ции y=f(x) в бесконечно удаленной точке, если для люб ε>0 сущ такое число ρ=ρ(ε), что для всех знач x, удовл усл |x|>ρ будет выполн нер-во |f(x)-y0| <ε.
Число А есть левый предел функции f(x) в точке x=x0, если для любого ε>0 существует такое δ(ε), что из неравенства 0< x0-x<δ следует |f(x)-A|<ε.
Число А есть правый предел функции f(x) в точке x=x0, если для любого ε>0 существует такое δ(ε), что из неравенства 0<x-x0<δ следует |f(x)-A|<ε.