• 3.) Вероятност попадания двумерной св

В ПРЯМОУГОЛЬНИК.

P

у

B(x₁;y₂) A(x₂;y₂)

у₂

у₁

С(х₁;y₁) Д(х₂;y₁)

0 х₁ х₂ х

(x₁Xx₂;y₁Yy₂)=F(x₂;y₂)-F(x₁;y₂)-[F(x₂;y₁)-

-F(x₁;y₁)]= F(x₂;y₂)-F(x₁;y₂)-F(x₂;y₁)+F(x₁;y₁)

• 4.) Плотность совместного распределения вероятностей двумерной св

Функция распределения (интегральная функция) существует как для дискретных, так и для непрерывных СВ. Плотность совместного распределения системы двух СВ существует только для непрерывных величин.

Пусть F(x,y) – непрерывна всюду за исключением, быть может, нескольких кривых. Кроме того, вторые производные этой функции непрерывны всюду.

Опр.: Плотностью совм. распределения вероятностей системы двух СВ (диффер. функцией) назыв. предел отношения вероятности попадания СВ (Х,У) в прямоугольник со сторонами х и у к площади этого прямоугольника(х*у), когда длина сторон этого прямоугольника стремится к 0.

П

у

у

х х х

лотность совместного распределения вероятностей, равна второй смешанной частной производной от функции распределения двумерной СВ. Выражение f(x,y)*dx*dy – назыв. элементом вероятности двумерной СВ и означает вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник. (элементарный прямоугольник: потому что длины сторон = dx и dy). Вероятность попадания случайной точки в произвольную область Д:

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

1.) f(x,y)0. f(x,y) – есть предел отношения 2 не отрицательных величин S и Р, потому не может быть отрицательным.

2.) . Этот интеграл выражает вероятность попадания случайной точки на плоскость ХОУ, это событие достоверно и вероятность его =1.

3.)Если известна плотность f(x,y), то функция распределения

• 5.) Условный закон распределения составляющих

ДИСКРЕТНОЙ СВ.

Х У	х1	х2	…	хi	…	хn
y1	p11	p21	…	pi1	…	pn1
y2	p12	p22	…	pi2	…	pn2
…	…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…	pnj
…	…	…	…	…	…	…
ym	p1m	p2m	…	pim	…	pnm

. Рассмотрим дискретную двумерную СВ (Х,У). Допустим, что в результате испытания величина Х приняла значение х₁, т.е. Х=х₁, тогда СВ У может принять одно из своих возможных значений у₁, у₂, …,у_m. Условной вероятностью СВ У при Х=х₁ назыв. отношение вероятности соответствующего значения Y к вероятности того, что Х=х₁, т.е.

Опр.: Условным законом распределения составляющей У при Х=х_i назыв. совокупность вероятностей Р(у₁/x_i), P(y₂/x_i), …, P(y_j/x_i), …, P(y_m/x_i). Аналогично условный закон распределения составляющей Х при У=у_j назыв. совокупность условных вероятностей: Р(х₁/у_j), P(x₂/y_j), …, P(x_i/y_j), …, P(x_n/y_j).