66

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

приборостроения и информатики

кафедра высшей математики

Головешкин В.А.

аналитическая геометрия прямой и плоскости, линии и поверхности второго порядка, основы теории линейных операторов и квадратичных форм

Редакция для заочного обучения:

Выборнов А.Н.

Москва 2011

Тема 1. Понятие об уравнении линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данными угловыми коэффициентами. Расстояние от точки до прямой.

Вначале дадим определение понятия уравнения линии на плоскости.

Пусть на плоскости задана некоторая линия .

Уравнение называется уравнением линии , если выполнены два условия:

1.для любой точки с координатами , лежащей на линии , выполнено , то есть ее координаты удовлетворяют уравнению линии;

2. любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , лежит на линии.

Приведем пример.

Из курса элементарной математики известно уравнение биссектрисы первого и третьего координатного угла: , или то же самое .

Зададимся вопросом, будет ли уравнение уравнением данной прямой? Очевидно, что любая точка прямой будет удовлетворять и уравнению . С другой стороны, точка удовлетворяет уравнению , но не лежит на прямой . Следовательно, уравнение не будет уравнением исследуемой линии.

Уравнение окружности

Пусть окружность имеет радиус , а ее центр находится в точке . Точка лежит на окружности тогда и только тогда, когда модуль вектора равен , то есть . Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда

(1)

Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть . Используя формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, уравнение искомой прямой записываем в виде

(2)

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через

середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).

Будем рассуждать следующим образом. Чтобы найти уравнение прямой мы должны знать точку, через которую эта прямая проходит, и вектор перпендикулярный этой прямой. Вектором, перпендикулярным данной прямой, будет вектор , поскольку, по условию задачи, прямая перпендикулярна отрезку АВ. Точку определим из условия, что прямая проходит через середину АВ. Имеем . Таким образом и уравнение примет вид .

Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).

Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.