ИП_Лаб_1
.docxМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»
КАФЕДРА № 41
ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
старший преподаватель |
|
|
|
Н.Н. Григорьева |
должность, уч. степень, звание |
|
подпись, дата |
|
инициалы, фамилия |
ОТЧЕТ О ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ №1 |
Линейное программирование |
по курсу: Исследование операций |
|
|
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ
СТУДЕНТ ГР. № |
4616 |
|
|
|
А.В.Павлов |
|
|
|
подпись, дата |
|
инициалы, фамилия |
Санкт-Петербург 2019
Цель работы: Решите задачу линейного программирования графическим методом и аналитически -симплекс-методом. Проверить решение c помощью Excel.
Сформулировать задачу, двойственную к заданной, решить, сравнить результаты
Вариант 7.
Ход работы:
Графический метод буду делать с помощью сайта Desmos. Ось x1 = x, x2=y
1)Ввожу первое уравнение . Т.к стоит знак значит закрашивает выше прямой.
Рисунок 1 – Уравнение №1
2)Ввожу второе уравнение . Т.к стоит знак значит закрашивает ниже прямой.
Рисунок 1 – Уравнение №1
3)Ввожу второе уравнение . Т.к стоит знак значит закрашивает выше прямой.
Рисунок 3 – Уравнение №3
Рисунок 4 – Пересечение
4) Добавлю вектор V=(3,1).
Рисунок 5 – Вектор
5) Сделаю перпендикулярную ему линию(3x+y=C) и буду двигать ее. Последнее пересечение будет когда C=18. Значит функция достигает макс значение в этой точке отмеченной на графике. Она принадлежит зеленному и синему уравнению. Составив и решив систему уравнения получим x1=4 и x2=6 . Тогда F=3*4+1*6=18
Рисунок 6 – Нахождение максимума
Симплекс-Метод:
Вводим дополнительные переменные x3,x4,x5 для каждого уравнения соответственно.
|
B |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X3 |
-12 |
-2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
X4 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
X5 |
2 |
2 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
F(x0) |
0 |
-3 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
Чтобы сделать допустимое решение нам нужно убрать отрицательные значения. Для этого находим среди свободных членов максимальное отрицательное число по модулю. Это число будет задавать разрешающую (ведущую) строку. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент, который будет разрешающим (ведущим) столбцом.
Разрешающий столбец: x2
Разрешающая строка: x3
Тогда
|
B |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X2 |
4 |
0.7 |
1 |
-0.3 |
0 |
0 |
X4 |
4 |
0.7 |
1 |
-0.3 |
0 |
0 |
X5 |
4 |
0.7 |
1 |
-0.3 |
0 |
0 |
F(x0) |
4 |
-2.3 |
0 |
-0.3 |
0 |
0 |
Пример расчета Жордана-Гаусса
Элемент = S - (А*В)/D
S – старый элемент, D - разрешающий элемент, А и В – старые элементы плана, образующие прямоугольник с элементами S и D.
|
B |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X2 |
-12 / -3 |
-2 / -3 |
-3 / -3 |
1 / -3 |
0 / -3 |
0 / -3 |
X4 |
2-(-12 * 1)/-3 |
-1-(-2 * 1)/-3 |
1-(-3 * 1)/-3 |
0-(1 * 1):/3 |
1-(0 * 1)/-3 |
0-(0 * 1)/-3 |
X5 |
2-(-12 * -1)/-3 |
2-(-2 * -1)/-3 |
-1-(-3 * -1)/-3 |
0-(1 * -1)/-3 |
0-(0 * -1)/-3 |
1-(0 * -1)/-3 |
F(x0) |
-12 / -3 |
-2 / -3 |
-3 / -3 |
1 / -3 |
0 / -3 |
0 / -3 |
Еще раз повторяем т.к есть отрицательные числа.
Разрешающий столбец: x1
Разрешающая строка: x4
Тогда
|
B |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X2 |
3.2 |
0 |
1 |
-0.2 |
0.4 |
0 |
X1 |
1.2 |
1 |
-0 |
-0.2 |
-0.6 |
-0 |
X5 |
2.8 |
0 |
0 |
0.2 |
1.6 |
1 |
F(x0) |
6.8 |
0 |
0 |
-0.8 |
-1.4 |
0 |
Еще раз повторяем т.к есть отрицательные числа.
Разрешающий столбец: x3
Разрешающая строка: x5
Тогда
|
B |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X2 |
6 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
X1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
X3 |
14 |
0 |
0 |
1 |
8 |
5 |
F(x0) |
18 |
0 |
0 |
0 |
5 |
4 |
Ответ F=18, x1=6,x2=4
Решение в Excel:
Рисунок 7 – Настройка поиска решений
Рисунок 8 – Полученный результат
Составление двойственной задачи
Т.к. целевая функция минимизируется, то неравенства должны быть записаны с помощью знака . Поэтому, прежде чем приступать к построению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной, умножив неравенство на (-1):
Симплекс-Метод:
|
B |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
Y4 |
-3 |
2 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
Y5 |
-1 |
3 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
F |
0 |
-12 |
2 |
2 |
0 |
0 |
Разрешающий столбец: y3
Разрешающая строка: y4
|
B |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
Y3 |
1.5 |
-1 |
-0.5 |
1 |
-0.5 |
0 |
Y5 |
-2.5 |
4 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
F |
-3 |
-10 |
3 |
0 |
1 |
0 |
Разрешающий столбец: y2
Разрешающая строка: y5
|
B |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
Y3 |
4 |
-5 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
Y2 |
5 |
-8 |
1 |
-0 |
-1 |
-2 |
F |
18 |
14 |
0 |
0 |
4 |
6 |
Ответ y3=5, y2=5,F=18
Решение в Excel
Рисунок 9 – Настройка расчета
Рисунок 10 – Результат работы
Fmax прямой задачи равен 18, тогда как Fmin двойственной задачи равен 18. Тогда по Теореме 1 “Для прямой и двойственной задач в силе одно и только одно из следующих утверждений. 1. Если одна из задач линейного программирования имеет конечный оптимум, то и двойственная к ней задача также имеет конечный оптимум, причём оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, т. е. Fmax = Zmin или Fmin = Zmax. 2. Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы. 3. Обе задачи не имеют решения, так как системы ограничений противоречивы.” - Все решено верно
Вывод: В ходе Практической работы мы ознакомились с симплекс методом расчета линейных уравнений, для прямых и двойственных задач. Проверили их на правильность с помощью теоремы. А так же решили эту задачу с помощью графического способа.