9. Билет 9

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ИЗМЕНЕНИЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЧЛЕНОВ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Теорема (арифметические свойства пределов):

Пусть существует lim a_n и lim b_n при n → ∞

Тогда:

1. lim (a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n

2. lim (a_n * b_n) = lim a_n * lim b_n

3. lim (a_n – b_n) = lim a_n – lim b_n

4. lim (a_n/b_n) = lim a_n / lim b_n, если lim b_n <> 0

Доказательство:

1. (используется определение предела)

lim a_n = g, lim b_n = h

Тогда при любом ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k одновременно выполняются неравенства:

|a_n – g| < ε/2 и |b_n – h| < ε/2

Рассмотрим следующее:

|(a_n+b_n) - (g+h)|=|(a_n – g)+(b_n - h)| <= |a_n – g| + |b_n – h| < ε/2 + ε/2 = ε

Следовательно, при любом ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполняется:

|(a_n+b_n) – (g+h)| < ε

По определению: lim (a_n + b_n) = g + h

2. (используем определение предела)

|(a_n*b_n)-(g*h)| = |a_nb_n – a_nh + a_nh – gh| <= |a_n|*|b_n-h| + |h|*|a_n-g|

По условию, {a_n} сходится, то есть она ограничена.

То есть существует M из R такое, что при любом n |a_n|<=M.

Тогда |a_nb_n-gh| <= M|b_n-h|+|h|*|a_n-g|

Так как последовательности сходятся, то для любого η > 0 существует k из N такое, что при любом n >k выполняется:

|a_n – g| < η и |b_n – h| < η

Тогда получаем : |a_nb_n – gh| < M*η + |h|*η = η*(M + |h|)

Пусть η = ε / (M+|h|)

Тогда при любом ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполняется:

|a_nb_n – gh| < ε

Следствия из 1) и 2) :

а) lim (a_n + c) = lim a_n +c, c=const

б) lim (c*a_n) = c* lim a_n, c=const

3. (алгебраические преобразования)

lim (a_n – b_n) = lim (a_n + (-1)b_n)= lim a_n + lim (-1)b_n = lim a_n – lim b_n

4. (используем определение предела)

Рассмотрим lim (1/b_n) и покажем, что он равен (1/lim b_n)

По условию, lim b_n = h, тогда :

для любого ε > 0 существует k1 из N такое, что при любом n > k1 выполнено : |b_n – h| < ε

Пусть, в частности, ε = |h|/2 > 0

Тогда можно написать, что |h| - |b_n| <= |h-b_n| < |h|/2

Следовательно, |b_n| > |h|/2 при любом n > k₁

С другой стороны : при любом η > 0 существует k₂ из N такое, что для любого n > k₂ выполняется :

|b_n – h| < η

Далее : k = max (k_1, k₂)

И при любом n > k рассмотрим следующее :

|1/b_n – 1/h| = |h-b_n| / |h|*|b_n| < 2η / h²

Пусть η = ε*h²/2 .

Тогда при любом ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполняется:

|1/b_n – 1/h| < ε → lim (1/b_n) = 1/h

Тогда справедливо следующее : lim a_n/b_n = g/h

Изменение и, в частности, отбрасывание или добавление конечного числа элементов последовательности не влияет на величину предела этой последовательности.

Следует из определения : Число g из R называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого ε>0 (ε из R) существует номер k (k из N) такой, что для любых номеров n>k выполняется неравенство : |a_n-g| <= ε