80. Билет 33

НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ

Теорема

Пусть f(x) непрерывна в точке {а}. И пусть y=f(x). Пусть z=g(y) непрерывна в точке {b}, b=f(a). Тогда g(f(x)) непрерывна в точке {a}.

Доказательство:

Пусть f(x) непрерывна в {a}, тогда для любой {x_n} x_n → a получаем, что lim f(x_n) = f(a)

Функция g = f(x), по условию, непрерывна в точке {b} = f(a). Следовательно, для любой {f(x_n)} имеем, что lim g{f(x_n)} = g{f(a)}. Значит, g(f) непрерывна в точке {a}.

Определение

Если f(x) непрерывна на множестве X, то тогда для любого x из Х и для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого |h| < δ выполнено |f(x+h) – f(x)| < ε

81. Билет 34

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА КАНТОРА.

Определение

Говорят, что f(x) равномерно непрерывна на Х, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого х из Х существует |h| < δ, которое удовлетворяет : |f(x+h) – f(x)| < ε

Функция может быть непрерывна в точке и на сегменте, но нет равномерной непрерывности в точке.

Утверждение

Если f(x) равномерно непрерывна на множестве Х, то она непрерывна на этом множестве.

Однако обратное утверждение неверно.

Пример

Пусть y = sin(1/x), x принадлежит [0, pi/2]

Покажем, что она не является равномерно непрерывной.

Рассмотрим x_n = 1/(pi*(2n+1)) и x_n' = 1/(pi*n)

Для {x_n} получаем : sin (pi/2 * (2n+1)) = ±1

Для {x_n'} получаем : sin (pi*n) = 0.

Для любого n из N : |sin (pi/2 * (2n+1)) – sin (pi* n)| = 1

Получаем : |x_n – x_n'| → 0 при n → ∞

Таким образом, для ε = 1 мы можем найти соответствующее δ, но мы не можем здесь по ε = 1 найти такое δ, которое подошло бы сразу для всех х из Х, однако для каждого отдельного х мы можем найти δ.

Теорема Кантора

Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то f(x) равномерно непрерывна на [a,b]

Доказательство (от противного) :

Пусть f(x) является непрерывной на [a,b].

Тогда существует ε > 0 такое, что для любого δ > 0 существуют x и x' из [a,b] такие, что выполнено : |x – x'| < δ и |f(x) – f(x')| >= ε

Возьмём δ = 1/n, где n из N.

Тогда построим {x_n} и {x_n'} такие, что для любого n выполнено : |x_n – x_n'| < 1/n

При этом |f(x_n) – f(x_n')| >= ε

Рассмотрим {x_n}. При любом n, x_n попадает в [a,b], то есть имеем ограниченную последовательность.

Следовательно, мы можем выделить из неё подпоследовательность {x_mn}, которая будет сходиться к точке {c} из [a,b].

По условию, f(x) непрерывна на [a,b].

Тогда : lim f(x_mn) = f(c).

Теперь рассмотрим {x_n'}

Из неё тоже можно выделить подпоследовательность {x_mn'}, которая будет сходиться, и в которой для любого n выполнено : |x_mn – x_mn'| < 1/n

Следовательно : lim {x_mn'} = c тогда lim f(x_mn') = f(c)

Тогда lim | f(x_mn) – f(x_mn') | = 0. И это противоречит |f(x_n) – f(x_n')| >= ε

Замечание

Исходя из доказательства, то очевидно =))) , что эту теорему можно доказать для любого множества Х, которое : 1) ограниченно 2) замкнуто (т. е. содержит любую свою точку сгущения)

Определение

Числовое множество Х из R, удовлетворяющее свойствам 1) и 2) называется компактным