6. Билет 6

ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ

Теорема 1

Для любого а из R и любого рационального ε>0 существуют рациональные числа α₁ и α₂ такие, что :

α₁ <= a <= α₂

α₂ — α₁ < ε

Иными словами, любое вещественное число а можно с любой наперёд заданной точностью ε приблизить рациональным числом.

Доказательство:

Пусть а принадлежит R, а >= 0, а — вещественное число.

Если а<0, то мы можем перейти к рассмотрению модуля такого числа.

Запишем а в следующем виде: а = а₀, а₁а₂а₃ … а_n …

Возьмём теперь α :

α₁ = a₀, a₁a₂ … a_n (мы оборвали запись на n-ом знаке)

По правилу упорядочения, мы получаем α₁ < a.

И построим : α₂ = α₁ + 10^-n

α₁ – рациональное число, α₂ — рациональное число.

α₁<a, a<α₂ → α₁ < a < α₂

α₂ - α₁=10^-n

Покажем теперь, что для достаточно больших номеров n всегда будет выполняться неравенство: ε<10^-n

для любого рационального числа ε.

По аксиоме Архимеда лишь конечное число натуральных чисел не превосходит числа 1/ε.

Следовательно, для конечного числа номеров n будет выполняться неравенство : 10ⁿ<1/ε

Тогда отсюда мы получаем : 10^-n >= ε

Для всех остальных номеров n будет выполняться противоположное неравенство : 10^-n<ε

Теорема 2

Пусть а и b – это произвольные вещественные числа. И пусть a>b. Тогда найдётся рациональное α, заключённое между ними. То есть b<α<a. Иначе говоря, между числами а и b можено расположить бесконечно много рациональных чисел.

Доказательство:

Можем считать, что b >= 0 и a >=0. Если a<0 и b<0, то тогда мы можем всё проделать для модулей этих чисел. Если b<0, а а>0, то α=0, например.

Итак, пусть b > 0 и a > 0. И пусть b<a. Представим число а в виде бесконечной десятичной дроби. Дело в том, что может оказаться, что число а имеет только конечное число ненулевых десятичных знаков. Но мы договорились записывать его с помощью бесконечной последовательности девяток.

a = а₀, а₁а₂ … а_n

b = b₀, b₁b₂ … b_n

b<a Следовательно, существует k такой, что a₀=b₀, a₁=b₁, … a_(k-1)=b_(k-1), a_k>b_k.

Мы договорились, что в числе а все десятичные знаки не могут быть одновременно равны 0.

Поэтому пусть номер р — это наименьший номер среди номеров n>k, для которых а_р <> 0

То есть а = а₀, а₁а₂ … а_n00 … 0a_p...

Предположим, что α = a₀,a₁a₂...a_n...00...0(a_p-1)99...9...

Но тогда по правилу упорядочения вещественных чисел, мы будем иметь неравенство : а > α > b

То есть α с требуемыми свойствами найдено.

Теорема 3

Пусть х₁ и х₂ — заданные вещественные числа. И пусть для любого рационального положительного ε существуют рациональные числа γ₁ и γ₂ такие, что выполнено :

γ₁ <= x₁, x₁ <= γ₂

γ₁ <= x₂, x₂ <= γ₂

Причём γ₂ - γ₁ < ε. Тогда x₁ = x₂.

Доказательство:

Пусть это не так. Пусть х₁ <> х₂. Например, х₁ < x₂.

Тогда по теореме 2 существуют рациональные числа α₁ и α₂ такие, что :

х₁<α₁, α₁<α₂, α₂<x₂

А с другой стороны выполнено :

γ₁ <= x₁, x₁ <= γ₂, γ₁ <= x₂ <= γ₂.

Тогда, используя транзитивность отношения порядка, мы можем написать, что γ₁<α₁<α₂<γ₂. Откуда следует, что разность (α₂-α₁)<(γ₂-γ₁). А тогда получается, что мы не сможем сделать разность γ₂-γ₁ меньше сколь угодно малого рационального ε>0. То есть получили противоречие. → х₁=х₂.