5. Билет 5

ТИПЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ

Множество вещественных чисел R — это конкретная реализация множества с правило упорядочивания. Т.е любые два элемента из этого множества связаны соотношением : a>b или a<b. Если a<b и a>b, то a=b. Это множество — объединение множества всех рациональных и иррациональных чисел. Элементам этого множества поставлено множество точек на числовой прямой. С помощью отношения порядка опишем числовые подмножества.

1. Сегмент [a,b] (закрытый промежуток)

Это множество точек x из R таких, что выполняется следующее условие: a <= x <= b

a и b – граничные точки сегмента

если х удовлетворяет a<x<b, то х — внутренняя точка сегмента

2. Интервал (a,b) (открытый промежуток)

множество точек x из R таким, что выполняется неравенство: a<x<b

3. ε-окрестность точки а

Пусть а принадлежит R, и имеется некоторое число ε > 0. Тогда интервал (а-ε,ф+ε) называется ε-окрестностью точки а.

4. Окрестность точки а

Произвольный интервал, содержащий заданную точку а называется окрестностью точки а.

5. множество вещественных чисел

R (-∞,+∞) То есть несобственные -∞ и +∞ в это множество не входят.

6. Полупрямая

Если точка x из R удовлетворяет неравенству a <= x < +∞ То это множество называют полупрямой и обозначают [a,+∞)

7. Полусегмент

Если выполняется неравенство a <= x < b, тогда множество [a,b) называют полусегментом.

8. Открытая полупрямая

Если выполняется неравенство a<x<+∞, то множество (а,+∞) называется открытой полупрямой.

Множество называется плотным в себе, если в любой окрестности произвольной точки x из множества А содержится хотя бы одна точка из множества А, отличная от точки х.

Все множества 1)-8) являются плотными в себе.

Ограниченное множество

Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если для любого х из А существует вещественное число М (соответственно, m) такое, что выполняется неравенство x<=M (соответственно, m<=x). Тогда М называется верхней гранью множества А (m – нижней гранью).

Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу..

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью. И обозначается : x = sup A.

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного сверху множества называется точной нижней гранью. И обозначается : x = inf A.

Основная теорема.

Если непустое множество А ограничено сверху (снизу), то тогда существует sup (inf) множества А.

Доказательство:

Пусть А принадлежит R, A <> ᴓ

Пусть В — множество всех верхних граней множества А.

Множество В <> ᴓ т. к. множество А ограничено сверху. Эти множества А и В обладают следующим свойством: для любого x из А и для любого у из В справедливо : x <= y. А тогда можно воспользоваться свойством сплошности. То есть найдётся число С из R такое, которое можно вставить между множествами А и В так, что для любого х из А и любого у из В выполняется неравенство : x <= c <= y

Левая часть неравенства означает, что с — верхняя грань множества А, а правая, что с — наименьшая из верхних граней множества А. Следовательно, с и есть sup A.

Аналогично доказывается, что существует с₁=inf A.

Эквивалент определения :

y₀ = sup A тогда и только тогда, когда

1)для любого х из А выполнено неравенство х <= y₀

(это условие того, что y₀ – верхняя грань множества А)

2)для любого ε>0 существует х из А такой, что х>y₀-ε

(это условие того, что никакое другое число меньшее у₀ не является верхней гранью множества А)

z₀ = inf A тогда и только тогда, когда

1)для любого х из А выполнено неравенство х >= z₀

(это условие того, что z₀ – нижняя грань множества А)

2)для любого ε>0 существует х из А такой, что х<z₀+ε

(это условие того, что никакое другое число большее z₀ не является нижней гранью множества А)

С помощью несобственных элементов -∞ и +∞ вводят понятие расширенного множества вещественных чисел (расширенной числовой оси).

R = R U {-∞,+∞}

Если множество A принадлежит множеству R (т.е , например, не ограничено сверху), то sup A = +∞. Если не ограничено снизу, то inf A = -∞.

Отметим, что для этих несобственных элементов арифметические операции не определяются.