89. Билет 42

КОЛЕБАНИЕ ФУНКЦИИ. СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ КАНТОРА.

Определение

Пусть функция f(x) определена и ограничена на множестве Х, следовательно, существуют M = sup{f(x)} & m = inf sup{f(x)} при х из Х.

Колебанием функции на множестве Х называется число ω = M – m.

Другая запись : ω = sup (f(x') – f(x'')), где x' и x'' принадлежат Х

Теорема (следствие из Кантора)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b]. Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого разбиения [a,b] точками на : a=x₀ < x₁ < … < x_n = b при условии, что

max {x_k+1 – x_k} < δ, k = 0,n -1 выполняется : ω_k < ε, где ω_k = M_k – m_k

Mk = sup {f(x)}, mk = inf {f(x)}, где x из [x_k-1,x_k]

Доказательство :

По условию, f(x) непрерывна на [a,b].

Тогда по теореме Кантора, она и равномерно непрерывна на [a,b]

Возьмём произвольное ε > 0. Тогда существует δ(ε) > 0 такое, что для любых x' и x'' из [a,b] справедливо : |f(x') – f(x'')| < ε/3

Разобьём теперь [a,b] на n частей так, что при разбиении : (b-a)/n < δ

Фиксируем это n и берём произвольный [x_k-1, x_k].

Воспользуемся свойством sup.

Какое бы ε > 0 мы ни взяли, мы всегда найдём x' из [x_k-1, x_k], для которого будет выполнено :

f(x') > M_k – ε/3

Далее по свойству inf существует такой x'' из [x_k-1, x_k], для которого будет выполнено :

f(x'') < m_k + ε/3

ω = M_k – m_k <= |f(x') + ε/3 – f(x'') + ε/3| <= |f(x') – f(x'')| + ε/3 + ε/3 < ε

Мы показали, что для любого k : ω_k < ε

Если функция равномерно непрерывна, то какое бы ε мы ни взяли, ω_k < ε

90. Билет 43

МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ

Определение

Пусть f(x) определена на множестве Х, причём каждая точка этого множества Х — его точка сгущения. Модулем непрерывности функции f(x) на множестве Х называют точную верхнюю грань модуля |f(x') – f(x'')| для любых x' и x'' из Х и удовлетворяющих неравенству : |x' – x''| <= δ, где δ – произвольное число, большее 0.

То есть : ω (f,δ) = sup |f(x') – f(x'')|

Из определения следует, что модуль зависит от функции f и от положительного параметра δ.

Таким образом, ω (f,δ) является положительной возрастающей функцией.

Это свойство следует из свойства sup.

(то есть если увеличиваем δ, то увеличивается множество, на котором ищется sup)

Примеры (при 0 < x < 1)

ω (sin(1/x),δ) <= 2

ω (1/x,δ) = +∞

Теорема (связь между равномерной непрерывностью и модулем непрерывности)

Для того, чтобы f(x) была равномерно непрерывной на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы

ω (f,δ) этой функции на [a,b] удовлетворял соотношению :

Доказательство:

1. необходимость

Пусть f(x) равномерно непрерывная функция на [a,b]. И нам надо показать, что для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любого δ, удовлетворяющего 0 < δ < δ(ε), выполнено :

ω (f,δ) < ε

Так как f(x) равномерно непрерывна, то для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любых x' и x'' из [a,b] и удовлетворяющих |x' – x''| < δ выполнено : |f(x') – f(x'')| < ε/2

Тогда для любого δ, которое удовлетворяет 0 < δ < δ(ε), выполнено :

ω (f,δ) = sup |f(x') – f(x'')| <= ε/2 < ε

при x' и x'' из [a,b] и |x' – x''| <= δ

2. пусть выполнено

тогда для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любого δ, удовлетворяющего 0 < δ < δ(ε), выполнено : ω (f,δ) < ε

По определению ω(f,δ) получаем, что неравенство ω (f,δ) < ε выполнено для любых x' & x''

из [a,b] и удовлетворяющих |x' – x''| <= δ. И это будет выполнено для любого δ, удовлетворяющего 0 < δ < δ(ε).

Следовательно, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x' и x'' из [a,b] и удовлетворяющих |x' – x''| < δ выполнено : |f(x') – f(x'')| < ε.

А тогда функция f(x) равномерно непрерывна на [a,b]