82. Билет 35

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Теорема

Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда f(x) ограниченная функция на [a,b] и достигает своих точной верхней (М) и точной нижней (m) граней на сегменте [a,b].

То есть существуют такие c и d из [a,b], что f(c)=M, f(d)=m.

Доказательство

1. Покажем сначала, что f(x) ограничена на [a,b]

Доказательство (от противного)

Пусть f(x) не ограничена на [a,b]

В таком случае для каждого n из N найдётся x_n такой, что : |f(x_n)| >= n

Построим последовательность {x_n}

Из неё, по лемме Больцано-Вейерштрасса, можно извлечь частичную последовательность {x_nm}, сходящуюся к конечному пределу : x_nm → x₀. (при m → ∞)

Причём, a <= x₀ <= b.

По условию, функция непрерывна на [a,b], тогда она непрерывна и в x0, тогда должно быть :

f(x_nm) → f(x₀)

А это невозможно, так как |f(x_n)| >= n и |f(x_nm)| → ∞.

Получили противоречие.

2. Теперь мы имеем, что функция f(x) непрерывна и ограниченна на [a,b].

Следовательно, множество её значений имеет, по основной теореме, sup и inf. То есть существует sup { f(x) } = M и inf { f(x) } = m. Тогда мы должны показать, что существует с из [a,b] такое, что f(c) = M (аналогично, f(d) = m)

Доказательство (от противного)

Пусть M = sup{ f(x) } и пусть f(x) < M (то есть М не достигается)

Рассмотрим функцию g(x) = 1 / (M – f(x))

Эта функция определена на [a,b] и непрерывна на нём

Следовательно, g(x) равномерно непрерывна на [a,b] и ограничена на нём.

То есть существует такая const L ≠ 0, что ( 1 / (M – f(x) ) < L

Следовательно, f(x) < M – 1/L < M

А это показывает, что нашлось такое число, которое ограничивает сверху все значения функции f(x), и это число меньше М.

Следовательно, получили противоречие.

83. Билет 36

ТЕОРЕМА ДАРБУ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ

Теорема

Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда, если выполнено f(a) < y < f(b) (или f(a) > y > f(b) ), то существует c из (a, b) (интервал!) такое, что f(c) = y.

Доказательство (способ Камачкина)

Пусть, например, f(a) < y < f(b).

Доказательство от противного.

Пусть y ≠ f(x) при x из [a,b]

Построим h(x) = 1 / |y – f(x)|

Эта функция, h(x), непрерывна на [a,b].

Следовательно, по теореме Вейерштрасса, она будет ограниченна.

То есть, существует const M такая, что : 1 / |y – f(x)| < M

Получаем : |y – f(x)| > 1/M

Но с другой стороны, функция f(x) равномерно непрерывна на [a,b].

То есть для ε=1/M существует δ > 0 такое, что для любых х и х' из [a,b], удовлетворяющих :

|x – x'| < δ выполнено : |f(x) – f(x')| < 1/M

Разобьём сегмент [a,b] на n частей так, чтобы их длины были меньше δ : (b – a)/n < δ

То есть : [a₀, a₁] … [a_n-1, a_n] ; a₀ = a, a_n = b

Значит, для любого m выполнено : |f(a_m) – f(a_m-1) < 1/M , где m = 1,n

По условию теоремы выполняется :

f(a₀) < y < f(a_n)

Следовательно, существует такой наименьший номер m, для которого y <= f(a_m)

И тогда : f(a_{m – 1}) < y

Следовательно : f(a_{m – 1}) <= y <= f(a_m)

0 <= y – f(a_{m – 1}) <= f(a_m) – f(a_{m – 1}) < 1/M

И тогда это неравенство противоречит |y – f(x)| > 1/M.

Получили противоречие. Теорема доказана.

Следствия

1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. M и m – это sup и inf множества её значений. Тогда f(x) принимает все значения из сегмента [m, M].

2. Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и в его точка принимает значения разных знаков. Тогда существует точка {с} такая, что f(c)=0.