78. Билет 31

ЧИСЛО е КАК ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ВИДА 1^∞, 0⁰, ∞⁰

Задача

Покажем, что для любой последовательности {x_n}, x_n → ∞ выполняется : lim (1 + 1/x_n)^xn = e

Решение:

Пусть x_k → ∞.

Пусть n_k = [ x_k ] (целая часть от x_k)

Тогда при любом k справедливо :

Тогда справедливо :

Если перейдём к пределу, когда n_k → ∞, тогда пределы слева и справа равны е.

И по принципу сжатой переменной получим :

Пусть x_k → -∞, и пусть y_k = - x_k.

Тогда y_k → +∞ при k → ∞.

Рассмотрим следующее :

Следовательно, lim (1 + 1/x)^x = e

Неопределённости

Пусть функции u(x) > 0 и v(x) определены на множестве E из R. Пусть а — точка сгущения множества Е. И существуют : lim u(x) = u₀, lim v(x) = v₀ при x → a. Тогда lim (u(x))^v(x) = u₀^v0

Решение :

(u(x))^v(x) = e^{v(x)*ln u(x)}

Если существует предел lim v(x)*ln u(x) = c при х → а, то lim u(x)^v(x) = e^c

Всё свелось к вычислению lim v(x)*ln u(x) при х → а

Возможны следующие неопределённости:

1. v(x) → 0, ln u(x) → ∞

Тогда имеем следующее :

В первом случае имеем неопределённость вида (+∞⁰), во втором : (0⁰)

2. v(x) → ∞, ln u(x) → 0

Тогда имеем : v(x) → ∞, u(x) → 1

Имеем неопределённость : (1^∞)

Таким образом, этот пример может быть решён, если возможен предельный переход под знаком показательной и логарифмической функции. То есть когда справедливо :

(u(x))^v(x) = e^{v(x)*ln u(x)}

Для указанного примера такой переход возможен, но отметим, что в общем случае возможности такого перехода может и не быть.

Три замечательных предела

1. 

Первый замечательный предел : ln (z+1) ≈ z (при z → 0)

2. 

Второй замечательный предел : ez – 1 ≈ z (при z → 0)

3. 

Третий замечательный предел ((1+z)^α – 1) / z = α (при z → 0)

79. Билет 32

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ СПРАВА И СЛЕВА В ТОЧКЕ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫНОСТИ НА ЯЗЫКЕ «ε — δ». ПРИМЕРЫ

Определение

Функция f(x) непрерывна в точке а тогда, когда в этой точке существует f(a), lim f(x) при x → a, и f(a) = lim f(x) при x → a.

Определение (на языке последовательностей)

Функция f(x) непрерывна в точке а, если для любой {x_n}, x_n → a при n → ∞ выполнено :

lim f(x_n) = f(a)

Это равносильно : lim f(x_n) = f (lim x_n)

Это равенство даёт правило предельного перехода под знаком функции.

Определение

Функция f(x), определённая в точке {а} из R, называется непрерывной справа в точке {а}, если lim f(x) = f(a) при x → a+0

(аналогично, «непрерывной слева ...» если lim f(x) = f(a) при x → a-0)

Пусть Х — множество определения f(x)

Построим 2 множества :

X1 = {x из Х, a < x}

X2 = {x из Х, х < a}

Пусть точка {а} — точка сгущения обоих множеств.

Тогда функция f(x) непрерывна в точке {a} только в том случае, если :

Если {a} – точка сгущения только одного из множеств, то определение непрерывности совпадает с определением односторонней непрерывности.

Определение

Пусть f(x) определена на множестве Х из R. Говорят, что f(x) непрерывна на множестве Х, если в каждой точке этого множества она непрерывна.

Пример: если Х = [a,b] и f(x) определена на [a,b]. Тогда f(x) должна быть непрерывна в каждой внутренней точке множества Х и иметь одностороннюю непрерывность в точках {a} и {b}.

Таким образом, каждая точка из множества Х должна быть точкой сгущения f(x).

В случае когда {a} = ±∞ тоже дают определение непрерывности функции.

Определение

f(x) непрерывна в a=±∞, если существует lim f(x) из R, при x → ±∞

Определение

f(x) непрерывна в {a} из R, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если |x – a| < δ, то

|f(x) – f(a)| < ε

По-другому : если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при любом |h| < δ выполнено :

|f(a+h) – f(a)| < ε

Теорема (арифметические свойства)

Пусть f(x) и g(x) определены на Х

Пусть {a} – точка сгущения множества Х

И пусть существуют lim f(x) = f(a) и lim g(x) = g(a)

Тогда :

1. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) = f(a) ± g(a)

2. { f(x) * g(x) } непрерывна в точке {a}

3. { f(x) / g(x) } непрерывна в точке {a}, если g(x) <> 0.

Доказательство : переводим всё в последовательности и для них доказываем

Пример1

Pn(x) – алгебраический многочлен степени n, где n из N. Его непрерывность следует из теоремы, т. к. он строится из арифметических операций.

Пример2

Pn(x) / Qm(x). Если Pn(x) непрерывен на R, то это отношение непрерывно на (R\K), где

K = {x из R : Qm(x)=0}

Пример3

y = sin(x), x из R

|sin(x+h) – sin(x)| <= 2 |sin(h/2)|

sin(h/2) → 0 при h → 0

Пример4

y=cos(x), x из R

|cos(x+h) – cox(x)| = 2 |cos(h/2)| |cos(x + h/2)| <= 2 |cos(h/2)|

cos(h/2) → 1 при h → 0

Пример5

y=ex, x из R

|e(x+h) – ex| = |ex| |eh – 1| <= ??? WTF