Билет 27

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НА ЯЗЫКЕ «ε — δ» (ПО КОШИ)

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПРЕДЕЛА

Теорема

Для того, чтобы существовал lim f(x) = g при х → а, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало δ(ε) > 0 такое, что при любом x : |x – a| < δ выполнено : |f(x) – g| < ε

(Если а = ±∞, то … для любого ε > 0 существовало r > 0 такое, что при любом x : |x| > r выполнено : |f(x) – g| < ε)

Доказательство:

1. Необходимость

Пусть существует lim f(x) = g при х → а, а условие Коши не выполняется

Тогда найдётся ε > 0 такой, что при любом δ > 0 существует x : |x – a| < δ при этом |f(x) – g| >=ε

Пусть δ_n = 1/n. Для каждого такого δ существует x_n, удовлетворяющее : |x_n – a| < δ

При этом выполнено |f(x_n) – g| >= ε

Таким образом мы построили последовательность {x_n}, которая → a, и для которой lim f(x_n) ≠ g

2. Достаточность

условие Коши выполняется. То есть для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что при любом x : |x – a| < δ выполнено : |f(x) – g| < ε.

Возьмём произвольную {x_n}, которая → a, и при любом n : x_n <> a.

Тогда для любого δ > 0 существует k из N : при любом n > k : |x_n – a| < δ

Следовательно, для любого n > k выполнено : |f(x_n) – g| < ε

Следовательно, для любого ε > 0 существует номер k такой, что для любого n > k :

|f(x_n) – g| < ε → существует lim f(x_n) = g

Но по нашему предположению {x_n} – произвольная последовательность.

Следовательно справедливо : lim f(x) = g.

Определение

Число g из R называется пределом f(x) в точке а, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x : |x – a| < δ выполнено : |f(x) – g| < ε

71. Билет 28

КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА НА ЯЗЫКЕ ОКРЕСТНОСТЕЙ

Теорема (критерий Коши)

Для того, чтобы существовал lim f(x) необходимо и достаточно, чтобы при любом ε > 0 существовало δ > 0 такое, что для любых х и х' : |x – a| < δ & |x' – a| < δ было выполнено :

|f(x) – f(x')| < ε

(Если а = ±∞, то … при любом ε > 0 существовало r > 0 такое, что для любых х и х' : |x| > r & |x'| > r было выполнено : |f(x) – f(x')| < ε )

Доказательство:

1. Необходимость

Пусть существует lim f(x) = g при x → a. Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого х : |x – a| < δ выполнено : |f(x) – g| < ε/2

Пусть x и x' удовлетворяют : |x – a| < δ & |x' – a| < δ

Тогда |f(x) – g| < ε/2 & |f(x') – g| < ε/2

Рассмотрим |f(x) – f(x')| <= |f(x) – g| + |f(x') – g| < ε/2 + ε/2 = ε

2. Достаточность

Пусть не существует lim f(x) при x → a, а условие Коши выполняется.

Тогда найдётся {x_n}, которая → а, и при любом n : x_n <> a, такая, что f(x_n) – расходящаяся

С другой стороны, для любого δ > 0 существует k из N такое, что при любом n > k выполнено:

|x_n – a| < δ & |x_k – a| < δ

Следовательно, для любого n > k получим : |f(x_n) – f(x_k)| < ε

То есть, выполняется Коши для последовательности { f(x_n) }

То есть она сходит, что противоречит нашему предположению.

Определение

Пусть U_δ – δ-окрестность точки {а}, U_ε – ε-окрестность точки {g}. Говорят, что существует

lim f(x) = g, (a, g из R) если из условия, что x принадлежит U_δ и при этом х <> a, следует, что f(x) принадлежит U_ε.