68. Билет 25

ПРЕДЕЛ СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ

Определение

Пусть функция f(x) отображает множество X в множество Y. А функция g(x) множество Y в множество Z. Определим функцию h(x) : X в Z по следующему правилу : h(x) = g(f(x))

Такая функция h(x) называется сложной функцией, или суперпозицией функций f(x) и g(x).

При этом функция g(x) – внешнее отображение, а f(x) – внутреннее.

Теорема

Пусть существуют пределы : lim f(x) = A и lim g(x) = B при х → а. Тогда:

если в некоторой окрестности точки {a} f(x) <> A, то существует lim g(f(x)) = B.

(A и B из R)

Доказательство:

Возьмём произвольную последовательность {x_n}, которая сходится к {а}, и такую, что при любом n : x_n <> a. Тогда, по условию, существует lim f(x_n) = A при n → ∞. Следовательно, для достаточно больших n, по условию теоремы, f(x_n) <> A. Следовательно, для последовательности f(x_n) существует lim g(f(x_n)) = B. Но тогда получается, что для любой {x_n}, которая сходится к {a} и у которой при любом n : x_n <> a, существует lim g(f(x_n)) = B. Тогда мы получаем, по определению, функцию : lim g(f(x)) = lim h(x) = B.

69. Билет 26

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОНЕЧНОГО ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Определение

Функция f(x), которая отображает X в Y называется ограниченной, если ограничено множество её значений Y. (в частности, ограниченной сверху, если Y ограничено сверху, и ограниченной снизу, если Y ограничено снизу)

Теорема

Пусть функция f(x) возрастает на множестве Х. Точка {a} – точка сгущения множества Х и точная верхняя грань (= sup) множества Х. Тогда существует lim f(x), и он конечный, если множество f(x) ограничено сверху, он равен +∞, если множество f(x) не ограничено сверху.

Доказательство:

● а — конечное число

Рассмотрим последовательность {a – 1/n}^∞_n=1. Эта последовательность — возрастающая. Следовательно, последовательность {f(a-1/n)}^∞_n=1 тоже возрастающая. Тогда если f(x) ограничено сверху, то существует lim (a – 1/n) = g

Теперь нам осталось показать, что для любой последовательности {x_n}, x_n → a, x_n <> a, существует lim f(x_n) = g. А это равнозначно, что lim f(x) = g.

Для любого ε > 0 существует m из N такое, что выполнено : g – f(a – 1/m) < ε

По этому номеру можно найти k из N такой, что при любом n > k : a – 1/m < x_n

Тогда для этих точек : f(a – 1/m) < f(x_n)

И, следовательно, получим : g – f(x_n) < g – f(a – 1/m) < ε

С другой стороны по номеру n можно найти такой номер r, что выполнено :

( x_n < a – 1/r ) → f(x_n) < f(a – 1/r) <= g

Следовательно : 0 < g – f(x_n) для любых n > k.

Тогда при любом ε > 0 существует такой k, что для любых n > k выполнено : 0 < g – f(x_n) < ε

Следовательно, для любой последовательности {x_n}, которая сходится к {a} и при любом n x_n <> a, получаем : lim f(x_n) = g

Равносильно : lim f(x) = g.

● а = +∞

Теорема

Если не существует конечный предел f(x) при x → a, то тогда найдётся последовательность {x_n}, которая сходится к {a} и при любом n : x_n <> a, и такая, что lim f(x_n) = Ø.

То есть f(x_n) – расходящаяся.

Доказательство:

(от противного)

Пусть f(x_n) сходящаяся и не существует lim f(x) при х → а.

Тогда найдутся две последовательности :

{x_n}, x_n → a, n : x_n <> a

{x_n'}, x_n' → a, n : x_n' <> a

такие, что lim f(x_n) <> lim f(x_n')

Тогда : {x₁, x₁', x₂, x₂', … } - сходящаяся последовательность, а

{ f(x₁), f(x₁'), f(x₂), f(x₂') … } - расходящаяся последовательность.

Получили противоречие.