41. Билет 23

ТОЧКА СГУЩЕНИЯ МНОЖЕСТВА.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, СХОДЯЩАЯСЯ К ТОЧКЕ СГУЩЕНИЯ МНОЖЕСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НА ЯЗЫКЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Определение

Пусть существует множество X из R. {a} из R называется точкой сгущения множества Х, если для любого ε > 0 существует х из Х такой, что х <> a и |x – a| < ε

Отметим, что {a} не обязательно принадлежит Х.

Пусть X = (a,b). Тогда [a,b] полностью состоит из точек сгущения множества Х.

Если множество Х не ограничено сверху (или снизу), то символическое число +∞ (или -∞) является его точкой сгущения.

Если точками сгущениями являются +∞ или -∞, то множество Х, где x > ε назовём окрестностью точки сгущения +∞, а множество, где x < ε назовём окрестностью точки сгущения -∞.

Определение

Точка а из R называется точкой сгущения множества Х из R, если любая ε-окрестность точки а содержит хотя бы одно х из Х и х <> a.

Определение

Точка а из Х называется изолированной точкой этого множества, если она не является точкой сгущения.

Пример.

Рассмотрим N в R. N состоит из изолированных точек в R и не имеет в R точек сгущения. Но во множестве R N имеет имеет единственную точку сгущения : +∞

Теорема

Пусть {а} принадлежит R – и это точка сгущения множества Х из R. Тогда существует {x_n} такая, что при любом n из N : x_n принадлежит Х, x_n<> a, lim{x_n} = a.

То есть при любом n : x_n принадлежит ( X\{a} )

Доказательство

1. a принадлежит R, то есть a <> ±∞.

По условию, а — точка сгущения множества Х.

Пусть ε=1. Тогда в 1-окрестности точки а найдётся точка {х} из Х, x <> a. Пусть x₁ = x.

Пусть ε=|x₁ – a|/2. В такой ε-окрестности найдётся точка {х} из Х, x <> a, x <> x₁. Пусть x₂ = x.

Пусть ε=|x₂ – a|/2. В такой ε-окрестности найдётся {х} из Х, x <> a, x <> x₁, x <> x₂. Пусть x₃ = x.

И так далее.

Тогда мы получим {x_n}^∞_n=1, где любой x_n принадлежит Х и x_n <> a

Тогда для любого n можем написать |x_n – a| < 1/(2^n-1), n=1,2,3 …

Тогда lim {x_n} = a.

2. а = ±∞

Обратно:

То есть: если существует {x_n} такая, что при любом n из N : x_n принадлежит Х, x_n<> a, lim{x_n} = a

тогда {a} – точка сгущения множества X.

Определение (определение предела функции на языке последовательностей)

Число {g} из R называется пределом функции f(x) в точке {a} из R, если для любой последовательности {x_n} : x_n → а, при любом n, x_n <> a, числовая последовательность {x_n} сходится к g. То есть lim f(x) = g при x → a.

67. Билет 24

ПРАВОСТОРОННИЙ И ЛЕВОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

Определение

Число g из R называется левосторонним пределом функции f(x) в точке a из R, если для любой последовательности {x_n}, x_n → 0, при любом n : x_n < a выполнено : lim f(x_n) = g

Обозначение :

Определение

Число g из R называется правосторонним пределом функции f(x) в точке a из R, если для любой последовательности {x_n}, x_n → 0, при любом n : x_n > a выполнено : lim f(x_n) = g

Обозначение :

Теорема (арифметические свойства пределов)

Пусть m принадлежит R и существуют два предела : lim f(x) и lim g(x) при x → m. Тогда:

1. lim (f(x)±g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)

2. lim (f(x)*g(x)) = lim f(x) * lim g(x)

3. lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x) , если lim g(x) <> 0

Доказательство:

Если воспользуемся определением предела на языке последовательностей, то всё сведётся к теореме об арифметических свойствах пределов последовательностей. (теорема будет справедлива и для односторонних пределов)

То есть для функций можно выбрать произвольные a_n и b_n, удовлетворяющих условиям, что при любом n : a_n <> m и b_n <> m, которые сходятся к пределам a и b. Тогда все эти свойства справедливы для последовательностей. В силу произвольного выбора последовательности, все свойства справедливы для функций f(x) и g(x) соответственно.

Теорема

Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены на X, и существуют lim f(x), lim g(x) и lim h(x) при x → a. Тогда :

1. если для любого х из Х выполнено : f(x) <= g(x), то : lim f (x) <= lim g(x)

2. если для любого х из Х выполнено : f(x) <= h(x) <= g(x) и lim f(x) = lim g(x), то тогда существует lim h(x) и lim f(x) = lim h(x) = lim g(x)

Доказательство:

Как и в прошлой теореме всё сводится к теоремам о пределах числовых последовательностей

Действия абсолютно аналогичные

Эти утверждения справедливы и для односторонних пределов.