38. Билет 21

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ, СРАВНЕНИЕ ПОРЯДКОВ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН

ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ВЕЛИЧИН

Перейдём к рассмотрению так называемых неопределённых выражений.

1. Пусть x_n = n + c, c = const, x_n → +∞, y_n = (- n), y_n → -∞

x_n + y_n → c

| +∞ -∞ = const |

2. x_n = 2n, x_n → +∞, y_n = (- n), y_n → -∞

x_n + y_n → +∞

| +∞ -∞ = +∞ |

3. x_n = n + (-1)ⁿ, x_n → +∞, y_n = (- n), y_n → -∞

(x_n + y_n) не существует предела

| +∞ −∞ ≠ lim |

Определение

Выражение (x_n + y_n), где x_n → +∞, a y_n → -∞ называется неопределённым выражением вида (+∞ -∞). Или просто неопределённостью вида (+∞ -∞)

1. x_n = 1/n2, x_n → 0, y_n = n, y_n → +∞

(x_n * y_n) → 0

| 0 * ∞ = 0|

2. x_n = 1/n, x_n → 0, y_n = n2, y_n → +∞

(x_n * y_n) → +∞

| 0 * ∞ = ∞|

Определение

Выражение вида (x_n * y_n), где x_n → 0, а y_n → +∞ называется неопределённостью вида (0 * ∞).

Имеется два частных случая :

1) x_n → 0, y_n → 0, вид : (0/0) 2) x_n → +∞, y_n → +∞, вид : (∞/∞)

Определение

Процесс нахождения пределов неопределённых выражений называется раскрытием неопределённостей.

Теорема

Произведение двух бесконечно малых величин есть величина высшего порядка малости, по сравнению с каждым сомножителем.

Доказательство:

x_n → 0, y_n → 0

z_n = x_n * y_n.

Рассмотрим z_n/x_n = y_n, y_n → 0. То есть z_n = o(x_n). Аналогично z_n = o(y_n).

Теорема

Пусть x_n ≈ y_n. Пусть α_n = x_n – y_n. Тогда α_n – бесконечно малая величина высшего порядка малости, по сравнению с x_n и y_n.

И наоборот, если α_n – высшего порядка малости, по отношению к x_n и y_n, то x_n ≈ y_n.

Доказательство:

Пусть x_n ≈ y_n. Рассмотрим α_n/x_n.

α_n/x_n = (x_n – y_n)/x_n = (1 – y_n/x_n)→ 0

Тогда α_n = o(x_n). Аналогично α_n = o(y_n).

Обратно:

α_n = o(x_n) и α_n = o(y_n)

Рассмотрим (x_n/y_n – 1)

(x_n – y_n)/y_n = α_n/y_n → 0

То есть : x_n/y_n → 1.

Следовательно, x_n ≈ y_n

39. Билет 22

ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОДНОГО ВЕЩЕСТВЕННОГО АРГУМЕНТА, ЕЁ ГРАФИК

ПРИМЕРЫ. УБЫВАЮЩИЕ И ВОЗРАСТАЮЩИЕ ФУНКЦИИ

Определение

Пусть Х — область определения, Y – область значений. И пусть задано правило f, которое любому x из X ставит в соответствие элемент f(x) из Y : y = f(x). Тогда говорят, что на множестве Х задана функция f со значениями в множестве Y.

Определение

Отображение f из Х в Y будем называть однозначным отображением, если для любого x₁ и x₂ из Х таких, что x₁ <> x₂, следует, что f(x₁) <> f(x₂)

Иначе говоря : каждому х из Х соответствует единственный f(x) из Y и наоборот.

Если отображение является взаимно однозначным отображением, то тогда можно говорить о существовании обратного отображения. То есть, это должно быть, отображающее точки множества Х и обладающее свойством из определения 1.

Определение

Пусть f отображает X на f(X) взаимно однозначно. Тогда для любого y из f(X) найдётся единственный x из Х такой, что y = f(x). Обозначим этот x = f^-1(y). Тогда на множестве f(X) определено отображение f(X) на Х. Это отображение обозначается f^-1 и называется обратным отображением к отображению f.

Таким образом, для любого y из f(X) найдётся такой x из Х, что х = f-1(y), a y = f(x).

Определение

Если у отображения f множество значений Y принадлежит R, то тогда отображение f называют функцией.

Определение

Пусть множества X и Y принадлежат R и задано правило f, которое любому х из Х ставит в соответствие одно единственное значение f(x) из Y. Тогда f(x) – вещественная функция одного вещественного аргумента, или числовая функция.

Определение

Рассмотрим упорядоченную пару {x, f(x)}, где x из Х, а f(x) из Y. Множество всех таких пар, отвечающих заданному правилу f, называется графиком функции f(x).

График функции всегда носит качественный характер, то есть даёт общее представление о закономерности, которое создаётся правилом f.

Рассмотрим примеры.

1. Пусть y = f(x). x принадлежит Х. При любом х : f(x) = d.

Постоянная функция

2. Пусть y = f(x). При любом х из Х : f(x) = x

Тождественная функция

3. x при надлежит X = (-∞, +∞). Y = [0; +∞). y= f(x) = x²

Квадратичная вещественная функция

4. х принадлежит Х = [0; +∞). Y = [0; +∞). y = f(x) = √x

Арифметический корень.

5. x при надлежит X = (-∞, +∞), Y = {0,1}

Функция Дирихле

Это пример функции, которую невозможно отобразить графически.

6. Алгебраический полином

y = f(x)

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₀, n из N

{a_n, … , a₀} либо из С (комплексные), либо из R (вещественные)

области определения и значений так же либо комплексные, либо вещественные

7. Дробно рациональная функция

y = f(x)

(a_n … a₀), (b_m … b₀) либо комплексные, либо вещественные

K = {x из С или из R такие, что b_mx^m+...+b₀ = 0}

X = {x из множества (CUR)\K } (область определения)

Y = CUR (область значений)

Определение

Пусть y = f(x) определена на конечном или бесконечном интервале (а,b). Тогда :

1) если для любых х и у из (a,b), которые удовлетворяют условию : a < x < y < b выполнено f(x)<f(y), то f(x) называется строго возрастающей на (a, b)

2) если для любых х и у из (a,b), которые удовлетворяют условию : a < x <= y < b выполнено f(x)<=f(y), то f(x) называется возрастающей на (a, b)

3) если для любых х и у из (a,b), которые удовлетворяют условию : a < x < y < b выполнено f(x)>f(y), то f(x) называется строго убывающей на (a, b)

4) если для любых х и у из (a,b), которые удовлетворяют условию : a < x <= y < b выполнено f(x)>=f(y), то f(x) называется убывающей на (a, b)

Если функция является строго возрастающей (или строго убывающей), то она взаимно однозначна. Следовательно, для неё можно найти обратную функцию. Строго возрастающие и строго убывающие функции являются монотонными. Следовательно, если функция монотонна, то у неё существует обратная функция. Но это не является необходимым условием.

Определение

Пусть f(x) определена на (-a, a)

f(x) – чётная, если для любого x из (-а, а) выполнено f(x) = f(-x)

f(x) – нечётная, если для любого x из (-а, а) выполнено f(x) = - f(-x).