37. Билет 20

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН

Варианта {x_n} – бесконечно большая величина, если при любом r > 0 существует Nr такой, что при любом n > Nr выполнено : |x_n| > r.

Теорема

Если {x_n} – бесконечно малая величина, то y_n = 1/x_n – бесконечно большая.

Доказательство:

При любом ε > 0 существует (r = 1/ε) > 0.

Для любого ε > 0 существует Nε такой, что при любом n > Nε выполнено : |x_n| < ε - 1/r

Тогда для любого r существует Nε такой, что при любом n > Nε выполнено : (1/x_n > r)

То есть (y_n > r)

Следовательно, y_n – бесконечно большая величина.

Действия над бесконечно большими величинами:

1. x_n → ±∞ и |y_n| <= k. Тогда (x_n + y_n) → ±∞

2. x_n → ±∞ и y_n → ±∞. Тогда (x_n + y_n) → ±∞

3. x_n → ∞ и y_n → a, a <> 0. Тогда (x_n * y_n) → ∞

4. x_n → ∞ и y_n → a, a > 0. Тогда (x_n/y_n) → ∞

5. x_n → a и y_n → ∞. Тогда (x_n/y_n) → 0.

Доказательства:

1. Действие 1

Пусть x_n → +∞ и при любом n : |y_n| <= k.

Тогда по любому r найдём Nr такое, что при любом n > Nr выполнено : |x_n| > r + k

|x_n + y_n| >= |x_n| - |y_n| > r + k – k = r при любом n > Nr

Тогда (x_n + y_n) → +∞

2. Действие 2

Пусть верно то, что в условии. (x_n → +∞, y_n → +∞)

Тогда по любому r найдём Nr такое, что при любом n > Nr выполнено : |x_n| > 2r и |yn| > r

|x_n + y_n| >= |x_n| - |y_n| > 2r - r = r при любом n > Nr

Тогда (x_n + y_n) → +∞

3. Действие 3

Пусть верно то, что в условии (x_n → ∞, y_n → a, a<>0)

Тогда по любому r найдём Nr такое, что при любом n > Nr выполнено : |x_n| > |r/a|

|x_n * y_n| = |x_n|*|y_n| > r/a * a = r

Тогад (x_n * y_n) → ∞

4. Действие 4

Пусть верно то, что в условии (x_n → ∞ и y_n → a, a > 0)

Тогда по любому r найдём Nr такое, что при любом n > Nr выполнено : |x_n| > r*a

|x_n/y_n| = |x_n| / |y_n| > r*a / a = r

Тогда |x_n/y_n| → ∞

5. Действие 5

Пусть верно то, что в условии (x_n → a и y_n → ∞)

Классификация бесконечно больших величин

Пусть x_n и y_n – бесконечно большие величины

1. если не существует lim (x_n/y_n), то x_n и y_n называют несравнимыми величинами

2. если lim (x_n/y_n) существует и он не равен 0, то величины x_n и y_n бесконечно большие одного порядка

Обозначение : x_n = O(y_n) или yn = O(x_n)

3. если lim (x_n/y_n) существует и он равен 1, то величины x_n и y_n эквивалентные

Обозначение : {x_n} ≈ {y_n}

4. если lim (x_n/y_n) существует и он равен 0, то x_n – высшего порядка по сравнению с y_n

Обозначение : x_n = o(y_n)

5. если lim (x_n/y_n) существует и он → ∞, то тогда x_n – низшего порядка по сравнению с y_n

Обозначение : y_n = o(x_n)

6. если lim (x_n/y_n) существует и он → 1, то тогда x_n – k-ого порядка, по сравнению с y_n

7. пусть x_n → ∞, y_n = c*n^k, k > 0, c = const. При n → +∞, y_n → +∞.

Если x_n ≈ y_n, то y_n называют главной частью бесконечно большой величины x_n.