35. Билет 18

ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подпоследовательность иногда называют частичной последовательностью. Её предел, если он существует, называют частичным пределом. У последовательности может быть много частичных пределов. И если она ограниченна, то среди частичных пределов существует наибольший, который называется верхним пределом.

Запись : lim {a_n}

И существует наименьший, который называют нижним пределом.

Запись : lim {a_n}

Определение

Пусть последовательность {a_n} – ограниченная. И пусть для любого n существует

u_n = sup {a_n, a_n+1, …}

Тогда a_n <= u_n.

Для любого n : u_n+1 <= u_n. И, следовательно, {u_n} убывает.

Обозначим u = lim{u_n} = inf u_n

{u} – называется наибольшим частичным пределом, или верхним пределом {a_n}.

Обозначение : lim a_n = u

Если {a_n} не ограничена сверху, то мы полагаем, что lim {a_n} = +∞.

Если {a_n} ограничена сверху, то -∞ <= u < +∞

Определение

Пусть {a_n} – ограниченная последовательность.

И пусть для любого n существует v_n = inf {a_n, a_n+1 … }

Тогда для любого n : v_n <= a_n.

И v_n+1 >= v_n при любом n.

То есть v_n – возрастающая последовательность.

Обозначим v = lim v_n = sup v_n

{v} – называется наименьшим частичным пределом, или нижним пределом {a_n}

Обозначение : lim a_n = v

Если {a_n} не ограничена снизу, то мы полагаем, что lim {a_n} = -∞

Если {a_n} ограничена снизу, то -∞ < v <= +∞

Из определений вытекает, что для любого n выполнено : v_n <= a_n <= u_n.

То есть для любого n : v_n <= u_n.

Соответственно, v_n – возрастает, u_n – убывает.

Тогда по лемме о вложенных промежутках, v <= u.

Иначе : lim a_n <= lim a_n

Любая последовательность имеет верхний и нижний пределы, но при этом «простой» предел может не существовать.

Теорема

Для того, чтобы существовал lim{a_n} необходимо и достаточно, чтобы верхний предел был равен нижнему (lim{a_n} = lim{a_n} = a). При этом lim{a_n} = a.

Доказательство:

◄ {a_n} – ограниченная последовательность

1. Необходимость

Пусть существует lim{a_n} = a.

Равносильно : для любого ε > 0 существует Nε такое, что для любого n > Nε выполнено : |a_n – a| < ε

Или : a – ε < a_n < a + ε

Фиксируем произвольное ε > 0 и некоторое n > Nε.

Тогда : A_n ={a_n, a_n+1, … } принадлежит (a – ε, a + ε)

Тогда : u_n = sup A_n < a + ε (одна из верхних граней)

Тогда : v_n = inf A_n > a – ε (одна из нижних граней)

a – ε < v_n <= v <= u <= u_n < a + ε

Тогда при любом ε > 0 выполнено : a – ε < v <= u < a + ε

Следовательно, v = u = a.

2. Достаточность

Пусть lim a_n = lim a_n = a.

По определению, для любого n : v_n <= a_n <= u_n.

{v_n} возрастает, {u_n} убывает. Тогда по принципу сжатой переменной : lim{v_n} = lim{a_n} = lim{u_n} = a.

◄ {a_n} – неограниченная последовательность (например, сверху)

1. Необходимость

{a_n} – неограниченная сверху. Следовательно, для любого r > 0 существует Nr такое, что для любого n > Nr выполнено : a_n > r

Следовательно, a = +∞.

Покажем теперь, что lim v_n = +∞.

a = +∞ следовательно, для любого M > 0 существует Nm такое, что при любом n > Nm

выполнено : a_n > M.

По определению, v_n = inf {a_n, a_n+1, … }

То есть, M из R – одна из нижних граней множества A_n.

И при этом v_n = inf {A_n}, то есть это наибольшая из нижних граней.

Для любого n выполнено : v_n >= M. (a_n >= v_n >= M)

Таким образом, для любого M > 0 существует Nm такое, что при любом n : v_n >= M. То есть lim{v_n}=+∞

Если lim v_n = +∞, то lim u_n = +∞ тоже.