2. Достаточность

Пусть выполнено |an – ar| < ε.

Покажем, что тогда {an} – ограниченная последовательность.

Мы имеем, по условию, что для любого ε > 0 существует r из N такое, что при любом n > r выполнено :

|an – ar| < ε. В частности это справедливо, когда ε=1.

Тогда получим, что при любом n > r выполнено : |an – ar| < 1

|an| - |ar| <= |an – ar| < 1

|an| < |ar| + 1

Пусть М = max {|a1|, |a2|, |a3|, … |ar-1|, … |ar|+1}

Тогда для любого n из N получим |an| < M

Следовательно, последовательность {an} ограничена.

Так как последовательность {an} ограничена, то она содержит сходящуюся подпоследовательность {amn}, по теореме Больцано-Вейерштрасса.

Пусть lim {amn} = g.

Таким образом следует :

1)Из условия |an – ar| < ε мы получаем, что для любого ε > 0 существует r из N такое, что при любых n > r выполнено : |an – ar| < ε/3 (5)

2)lim{amn} = g. Следовательно, для этого же ε > 0 существует k из N такой, что при любых n > k выполнено : |amn – g| < ε/3 (6)

Теперь мы можем предположить, что k > r. Тогда из неравенства |an – ar| < ε/3 мы получим, что для любых n справедливо : |amn – ar| < ε/3 (7)

Тогда при k>r неравенства (5), (6) и (7) будут выполнены одновременно.

Рассмотрим |an – g| = | (an – ar) + (ar – amn) + (amn – g) | < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

Тогда для любого ε > 0 существует номер k из N такой, что для любых n > k выполнено :

|an – g| < ε. То есть : lim an = g.

34. Билет 17

РАСХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Определение

Последовательность {a_n} сходится к +∞, если для любого r > 0 существует k из N такой, что при любом n > k, a_n > r.

Запись : lim{a_n} = +∞

Иначе : последовательность {a_n} сходится к +∞, если общий член последовательности +∞ при достаточно большом n сколь угодно велик.

Последовательность {a_n} сходится к -∞, если для любого r > 0 существует такое k из N, что при любом n > k, a_n < r.

Запись : lim{a_n} = -∞

Если последовательность сходится к +∞ или -∞, то говорят, что она имеет несобственный предел.

Теорема.

Если {a_n} является возрастающей и не ограничена сверху, то тогда lim{a_n} = +∞.

Доказательство:

Пусть {a_n} неограниченная последовательность. Тогда это означает, что НЕ существует r > 0 такого, что при любом k из N, a_k < r.

Равносильно : при любом r > 0 существует k такое, что a_k > r

Тогда : при любом r > 0 существует k из N такое, что при любом n >= k, a_k >= r.

Далее по определению : lim{a_n} = +∞

Теорема

Если {a_n} является убывающей и не ограничена снизу, то тогда lim{a_n} = -∞

Доказательство:

Пусть {a_n} неограниченная последовательность. Тогда это означает, что НЕ существует r > 0 такого, что при любом k из N, a_k > r.

Равносильно : при любом r > 0 существует k такое, что a_k < r

Тогда : при любом r > 0 существует k из N такое, что при любом n >= k, a_k <= r.

Далее по определению : lim{a_n} = -∞

Теорема

Если {a_n} монотонная последовательность, то тогда она имеет конечный предел, когда является ограниченной последовательностью, и имеет несобственный предел, когда является неограниченной последовательностью.

Доказательство:

Теорема

Если предел {a_n} равен +∞ или -∞, тогда lim {1/a_n} = 0.

Доказательство:

Пусть lim {a_n} = +∞. Тогда для любого ε > 0 предположим, что r = 1/ε. Тогда для любого ε > 0 существует k из N такое, что при любом n > k, a_n > r = 1/ε. Тогда для любого ε > 0 существует k из N такое, что для любого n > k выполнено : 1/a_n > ε. Равносильно : lim {1/a_n} = 0

Теорема

Если lim a_n = 0, то НЕ следует, что lim {1/a_n} = ±∞.

Доказательство:

lim (-1)ⁿ/n = 0

рассмотрим lim{(-1)ⁿ*n}. Он не равен ±∞. Он просто не существует.

Теорема

Если lim{a_n} = +∞, а {b_n} ограничена снизу, то есть для любого n выполнено : b_n > M, M из R. Тогда lim(a_n+b_n) = +∞.

Доказательство:

По условию, для любого r > 0 существует k из N такое, что для любого n > k выполнено : a_n > r – M.

Тогда для любого r > 0 существует k из N такое, что для любого n > k выполнено : (a_n + b_n) > r.

Так как при любом n : b_n > M.

Теорема

Пусть lim{a_n} = +∞. И для любого n имеем : c_n >= c > 0. Тогда lim{a_n*c_n} = +∞.

Доказательство:

По условию, для любого r > 0 существует k из N такое, что для любого n > k выполнено : a_n > r/c

Тогда для любого r > 0 существует k из N такое, что для любого n > k : a_n*c_n > r

Теорема

Пусть lim{a_n} = +∞. И для любого n выполнено : a_n < b_n. Тогда lim{b_n} = +∞

Доказательство:

При любом n : a_n <= b_n. Следовательно при любом n : b_n – a_n >= 0. Тогда lim{b_n – a_n} >= 0.

Тогда : lim{a_n} <= lim{b_n} Так как lim{a_n} = +∞, то lim{b_n} = +∞.