Билеты по математическому анализу

БИЛЕТ 1 2

БИЛЕТ 2 4

БИЛЕТ 3 5

БИЛЕТ 4 7

БИЛЕТ 5 10

БИЛЕТ 6 12

БИЛЕТ 7 14

БИЛЕТ 8 15

БИЛЕТ 9 17

БИЛЕТ 10 19

БИЛЕТ 11 20

БИЛЕТ 12 21

БИЛЕТ 13 22

БИЛЕТ 14 23

БИЛЕТ 15 24

БИЛЕТ 16 25

БИЛЕТ 17 26

БИЛЕТ 18 28

БИЛЕТ 19 30

БИЛЕТ 20 32

БИЛЕТ 21 34

БИЛЕТ 22 35

БИЛЕТ 23 37

БИЛЕТ 24 38

БИЛЕТ 25 39

БИЛЕТ 26 40

БИЛЕТ 27 41

БИЛЕТ 28 42

БИЛЕТ 29 43

БИЛЕТ 30 44

БИЛЕТ 31 46

БИЛЕТ 32 48

БИЛЕТ 33 50

БИЛЕТ 34 51

БИЛЕТ 35 52

БИЛЕТ 36 53

БИЛЕТ 37 54

БИЛЕТ 38 55

БИЛЕТ 39 56

БИЛЕТ 40 57

БИЛЕТ 41 58

БИЛЕТ 42 59

БИЛЕТ 43 60

БИЛЕТ 44 61

БИЛЕТ 45 62

1. Билет 1

ПОНЯТНИЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

Понятие множества

Множество — это любая совокупность любых предметов (или элементов множеств).

Обозначение: А, В, С — множества, а,b,c – элементы множеств.

Если все элементы множества А принадлежат множеству B, то А — подмножество В. При этом не исключено, что А=В.

Если множество А не содержит никаких элементов, то оно называется пустым множеством.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

Суммой (объединением) произвольных множеств А и В называется множество, все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В.

Обозначение AUB

Пусть множество Аа — одно из множеств из совокупности множеств {Aa}. И а — это индекс, пробегающий конечную или бесконечную совокупность номеров.

Тогда множество U Аа — это объединение конечного или бесконечного числа множеств (т. е. Каждый элемент этого объединения принадлежит хотя бы одному из множеств Аа).

Пересечением произвольных множеств А и В называется множество, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Обозначение А∩В

Пусть {Аа} — конечная или бесконечная система множеств. ∩Аа — это множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств Аа.

Дизъюнктивные множества — если пересечение множеств А и В является пустым множеством.

Операции объединения и пересечения, по своему определению, коммутативны и ассоциативны. (т. е. АUB=BUA, (AUB)UC=AU(BUC) )

Кроме того эти операции связаны соотношениями дистрибутивности:

1. (AUB)∩C=(AUC)∩(AUB)

2. (A∩B)UC=(A∩C)U(B∩C)

Доказательства:

1. Пусть x принадлежит (AUB)∩C.

Тогда x принадлежит С обязательно и х принадлежит (АUB) (т. е или А или В)

Следовательно, x принадлежит (A∩C) или (B∩C)

Тогда x принадлежит (А∩С)U(B∩C)

ОБРАТНО: Пусть x принадлежит (А∩С)U(B∩C)

Тогда х принадлежит (А∩С) или (В∩С)

Следовательно, х принадлежит С и (или А или В).

Тогда x принадлежит (AUB)∩C

2. Пусть х принадлежит (А∩B)UC

Тогда x принадлежит С или х принадлежит (А∩В)

Следовательно, х принадлежит либо (АUC), либо (BUC)

Тогда х принадлежит (AUC)∩(BUC)

ОБРАТНО: Пусть х принадлежит (AUC)∩(BUC)

Тогда х принадлежит (AUC) и (BUC)

Тогда х приндлежит (А или С) и (В или С)

Следовательно, х принадлежит С или x принадлежит (А и В)

Тогда x принадлежит (AUB)∩C.

Разностью произвольных множеств А и В называется множество, все элементы которого — это элементы множества А, не принадлежащие множеству В.

Обозначение A\B

При этом не обязательно, что А содержит множество В.

Симметрическая разность двух множеств.

A∆B=(A\B)U(B\A)=(AUB)\(A∩B)

Доказательство эквивалентности двух записей:

Пусть х принадлежит (A\B)U(B\A)

Тоггда х принадлежит (A\B) или (B\A)

Следовательно, (х∈А и х∉В) или (х∈В и х∉А).

Тогда (х∈А и х∉А∩В) или (х∈В и х∉А∩В)

Следовательно, х∈(А∪В)\(А∩В)

ОБРАТНО: Пусть х принадлежит (AUB)\(A∩B)

Тогда x принадлежит (AUB) и х не принадлежит (A∩B)

Следовательно, х принадлежит (А или В) и х не принадлежит (А и В)

Тогда х принадлежит (A\B) или х принадлежит (B\A)

Следовательно, х∈(A\B)U(B\A)

В анализе часто рассматриваются случаи, когда все множества принадлежат одному основному множеству, например S.

Тогда если A∈S, то S\A – дополнение множества А.

Обозначение: CA или А'

Соотношения двойственности

Пусть произвольное множество Аа принадлежит S.

S\UAa=∩(S\Aa) (1)

S\∩Aa=U(S\Aa) (2)

Доказательства:

1. Пусть х принадлежит S\UAa

Тогда х не принадлежит U Аa

Тогда при любом а, х не принадлежит Aa

Тогда при любом а, х принадлежит S\Aa

Следовательно : х принадлежит ∩(S\Aa)

ОБРАТНО: Пусть х принадлежит ∩(S\Aa)

Тогда при любом а, х принадлежит S\Aa

Тогда при любом а, х не принадлежит Aa

Тогда х не принадлежит U Аa

Следовательно, х принадлежит S\UAa

2. Пусть х принадлежит S\∩Aa

Тогда х не принадлежит ∩Аa

Тогда при любом а, х не принадлежит Аа

Тогда при любом а, х принадлежит S\Aa

Следовательно, x принадлежит U(S\Aa)

ОБРАТНО: Пусть х принадлежит U(S\Aa)

Тогда при любом а, х принадлежит S\Aa

Тогда при любом а, х не принадлежит Аа

Тогда х не принадлежит ∩ Аа

Следовательно, х принадлежит S\∩Aa