11.3. Нагрузки и расчетные схемы валов и осей
Нагрузки от зубчатых колес, шкивов, звездочек и других насаженных на валы и оси деталей передаются на них через поверхности контакта и являются распределенными. В расчетных схемах валов и осей эти нагрузки для упрощения заменяют сосредоточенными и приложенными в середине ширины или на краях ступицы, а сечения вала или оси в этом месте принимают за расчетные (рис. 11.2).
При составлении расчетных схем валы и оси представляют в виде балок на шарнирных опорах. При этом подшипники, одновременно воспринимающие осевые и радиальные силы, считают шарнирно-неподвижными опорами, а подшипники, воспринимающие только радиальные нагрузки, считают шарнирно-подвижными.
135
Рис. 11.2. Характер распределения нагрузки
под ступицей на валу
При использовании радиального шарикового или роликового подшипника качения, заменяющую его шарнирную опору располагают на середине ширины подшипника (рис. 11.3 а, б).
Рис. 11.3. Расчетные схемы валов и осей
136
Для радиально-упорных подшипников качения шарнир размещают на пересечении оси вала с нормалью, проведенный через середину контактных площадок тел качения с дорожками качения колец подшипника (под углом контакта ); расстояние между шарниром и торцом подшипника (рис. 11.3, в, г) может быть определено графически или аналитически по справочнику. Если в одной опоре размещают два подшипника качения, то шарнир размещают так, как показано на рис. 11.3, д.
Для валов и
осей, опирающихся на подшипники скольжения
длиной
,
шарнир располагают на расстоянии
(0,25…0,3)
от внутреннего торца подшипника, что
обусловлено смещением от середины
подшипника максимума давления
на поверхности контакта цапфа-подшипник
вследствие деформации вала и подшипника
(рис. 11.3, е).
137
Лекция 9
Тема 11 валы, оси и муфты
11.4. Расчёт валов и осей на прочность
Порядок (алгоритм) расчёта. Конструирование и расчёты на прочность валов и осей неразрывно взаимосвязаны. При разработке конструкции валов и осей применяют метод последовательных приближений. Первым этапом является определение по эмпирическим зависимостям и рекомендациям или, при отсутствии таковых, по упрощённым формулам сопромата предварительных (ориентировочных) значений диаметров и разработка первого варианта конструкции (эскизный проект). На втором этапе составляют расчётную схему (расчётную модель) и проводят расчёт на статическую прочность и первую коррекцию конструкции вала (оси). Далее, на третьем этапе проверочный (уточнённый) расчёт на сопротивление усталости и уточняют конструкцию вала (оси). На последнем (четвёртом) этапе проводят, по мере необходимости, специальные расчёты (на жёсткость, виброустойчивость и др.) и разрабатывают окончательный вариант конструкции вала или оси (технический и рабочий проекты), отвечающий всем критериям работоспособности данного вала (оси) с учётом требований технологичности, экономичности и др.
Учитывая, что оси не передают крутящий (вращающий) момент, их можно рассматривать как частную разновидность валов, не подверженных кручению. Кроме того, в начале курса были рассмотрены общие рекомендации по расчёту на жёсткость и определению критических частот вращения валов, поэтому
138
эти вопросы в связи с недостатком времени более подробно рассматриваться не будут.
Предварительное
определение диаметра вала. Средний
диаметр вала предварительно можно
оценить с помощью эмпирических
зависимостей, рекомендаций по опыту
проектирования подобных машин или
ориентируясь на диаметр того вала, с
которым он соединяется. Например, если
вал приводиться во вращение
электродвигателем, то диаметр его можно
принять равным 
эд,
где 
эд
– диаметр электродвигателя.
При отсутствии надёжных эмпирических зависимостей и других данных для оценки среднего диаметра вала можно использовать условный расчёт на кручение при пониженных допускаемых напряжениях:
,
где Т
– крутящий (вращающий) момент на валу;
- условное допускаемое напряжение при
кручении;
- коэффициент пустотелости вала.
Расчёт на статическую прочность. По составленной расчётной схеме определяют реакции опор в горизонтальной и вертикальной плоскостях. В этих же плоскостях строят эпюры изгибающих моментов Мг и Мв и крутящих моментов Т, как показано на рис 11.4. При проверке статической прочности используются максимальные значения нагрузок с учётом кратковременных перегрузок:
.
Проверка прочности выполняется в опасных сечениях, каковыми являются:
сечения с максимальными значениями изгибающих и крутящих моментов (например, сечение А – А на рис. 11.4);
139
сечения с
минимальными размерами вала (например,
сечение А – Б на рис. 11.4).
Рис. 11.4. Эпюры моментов вала
В опасных сечениях
определяются напряжения изгиба
и растяжения
,
а также касательные напряжения кручения
и среза
.
Определяются запасы статической прочности по нормальным и касательным напряжениям:
где
и
- пределы текучести материала при изгибе
и кручении.
140
Проверка статической прочности при совместном действии нормальных и касательных напряжений производится по условию:
.
Допускаемое
значение запаса статической прочности
устанавливается требованиями эксплуатации
и зависит от достоверности расчётных
величин. Как правило,
.
Расчёт на сопротивление усталости. Проверку усталостной прочности производят по номинальным или, реже, по эквивалентным нагрузкам. Для расчётной схемы вала определяются реакции в опорах и строятся эпюры изгибающих Мг и Мв и крутящих Т моментов, как показано на рис. 11.4.
Опасными сечениями при проверке усталостной прочности будут:
сечения с максимальными значениями изгибающих и крутящих моментов;
сечения с минимальными размерами вала;
сечения с максимальными значениями коэффициентов концентрации напряжений: галтельные переходы, шлицы, резьба, поперечные отверстия и др.
В опасных сечениях определяются напряжения изгиба и растяжения , а также касательные напряжения кручения .
Принимаем:
и
.
При этом сжимающие напряжения не
учитываются, т.е.
.
По опыту эксплуатации
принимают
и
соответственно.
141
Определяются запасы усталостной прочности:
Здесь
,
- пределы выносливости по нормальным и
касательным напряжениям;
,
- эффективные коэффициенты концентрации
напряжений в данном сечении вала;
,
- коэффициенты чувствительности материала
вала к асимметрии цикла изменения
напряжений.
Проверка усталостной прочности выполняется по условию:
.
Допускаемый запас
усталостной прочности выбирается в
пределах
.
Е
сли
разрушение вала происходит при сложном
нагружении, когда изменяются амплитудные
напряжения
,
то запасы прочности определяются по
амплитудным напряжениям с использованием
диаграммы предельных напряжений,
приведённой на рис. 11.5.
Рис. 11.5 Диаграмма предельных напряжений
при нагружении
,
142
В этом случае напряжённое состояние детали характеризуется точкой А, предельное разрушающее напряжение – точкой В.
Значение предельного амплитудного напряжения определится по формуле:
.
Здесь
и
.
Запас усталостной
прочности по амплитудным напряжениям
определится отношением
.
Подставляя выражение
для
,
после преобразований получим запас
прочности по нормальным напряжениям:
Аналогично получим выражение для запаса прочности по касательным напряжениям:
.
Условие усталостной прочности по амплитудным напряжениям будет иметь вид:
.
При этом рекомендуется
принимать
.
Как следует из приведённых зависимостей, для повышения усталостной прочности вала необходимо уменьшение величины коэффициента концентрации напряжений. Все мероприятия по снижению значений коэффициентов концентрации
143
напряжений можно разделить на конструкторские и технологические.
К конструкторским мероприятиям относятся:
применение рациональных форм валов;
уменьшение ступенек изменения диаметров;
применение максимально возможных значений радиусов галтелей;
замена шпоночных пазов на шлицы, создающие меньшие по величине концентраторы напряжений и др.
К технологическим мероприятиям относятся:
понижение шероховатости поверхности;
введение термообработки;
упрочнение поверхностно-пластическим деформированием: обкатка роликами, обдувка дробью и др.