- •1. Экспоненциальная функция и её свойства.(???????????????)
- •2.Логарифмическая функция и её свойства. Показательная функция и её свойства.
- •4. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Модуль непрерывности функции. Взаимосвязь модуля непрерывности с равномерной непрерывностью функции.
- •5. Первый и второй замечательные пределы.
- •6 . Эквивалентные функции. Таблица эквивалентных функций. Асимптотическое поведение функций (o-символы).
- •7. Производная функции. Дифференцируемость функции, дифференциал функции. Дифференцируемость функции и её непрерывность.
- •8. Производная суммы, произведения частного функций. Производная обратной функции.
- •9. Производная и дифференциал композиций функций. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •10. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданной параметрически.
- •11. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •12. Теорема Ролля (о нуле производной). Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) и следствия из неё (условие постоянства монотонной функции).
- •13. Теорема Коши (обобщённая форма конечных приращений). Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. Теорема о разрывах производной.
- •14. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя (без доказательства).
- •15. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Различные формы остаточного члена (Лагранжа, Коши и Пеано). Формула Маклорена.
14. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя (без доказательства).
Первое правило Лопиталя.
Пусть f, gD(прок.U(x0)), lim f(x) = lim g(x) = 0, при xx0 и g’(x) 0 x(прок.U(x0)).
Если (конечный или бесконечный) lim f ’(x) / g’(x) , при xx0, то lim f (x) / g(x) = lim f ’(x) / g’(x) , при xx0.
Доказательство. Доопределим функцию f: f(x0) = 0 = g(x0), тогда функции f и gC [x0,x]. f,gD(x0,x), тогда найдётся точка (x0,x) такая, что [f(x)–f(x0)] / [g(x)-g(x0)] = f ’() / g ’(). Учитывая доопределение f(x0) = 0 = g(x0) получим f(x) / g(x) = f ’() / g ’(). По условию: lim f ’(x) / g’(x) = A.
lim [f (x) / g(x), при xx0] = lim f ’() / g ’() = A, при x0.
Второе правило Лопиталя.
Пусть f, gD(прок.U(x0)), lim f(x) = lim g(x) = , при xx0 и g’(x) 0 x(прок.U(x0)).
Если (конечный или бесконечный) lim f ’(x) / g’(x) , при xx0, то lim f (x) / g(x) = lim f ’(x) / g’(x) , при xx0.
15. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме. Различные формы остаточного члена (Лагранжа, Коши и Пеано). Формула Маклорена.
Теорема Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки a производную порядка n+1; p – произвольное положительное число. Тогда между точками a и x найдётся точка такая, что
f(x) = f(a) + [f ’(a) / 1!] (x-a) + [f (2)(a) / 2!] (x-a)2 + … + [f (n)(a) / n!] (x-a)n + Rn+1(x), где (*) Rn+1(x) = [(x-a)/(x-)]p {(x-)n+1/(n!p)}f(n+1)().
Доказательство.
Обозначим (****) (x,a) = f(a) + [f ’(a) / 1!] (x-a) + [f (2)(a) / 2!] (x-a)2 + … + [f (n)(a) / n!] (x-a)n. Обозначим (***) Rn+1(x) = f(x) - (x,a). Теорема будет доказана, если Rn+1(x) определяется формулой (*). Для определённости x > a. t[a,x] ????????????
Рассмотрим вспомогательную функцию (**) (t) = f(x) - (x,t) – (x-t)pQ(x), где Q(x) = Rn+1(x)/(x-a)p.
Подробнее: (t) = f(x) – f(t) – f ’(t) – [f ’(t)/1!](x-t) + … +[f (n)(t) / n!] (x-t)n – (x-t)pQ(x). Цель – выразить Q(x);
Покажем, что (t), удовлетворяет на [a,x] условиям т. Ролля. Из условий для f(x), очевидно, что (t)С([a,x]) и (t)D((a,x)). Убедимся, что (a) = (x) = 0. Пологая t = a в (**) и учитывая (***) получим: (a) = f(x) - (x,a) - Rn+1(x) отсюда на основании (****) (a) = 0. (t) = 0 – получается тупым подствавлением