11. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

f:XR, предположим, что точка x₀ содержится в множества X вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Точка x₀ называется точкой локального экстремума функции f(x), если  U(x₀) в которой выполняется неравенство f(x)  f(x₀) {для max} (для min f(x)  f(x₀))

Если f(x) < f(x₀) x(прок.)U(x₀), то точка x₀ называется точкой строгого локального максимума.

Теорема Ферма.

Если fD(x₀) и точка x₀ является точкой локального экстремума функции, то f ’(x₀) = 0.

Доказательство.

x₀ – локальный максимум функции, xU(x₀).

Если x > x₀, тогда [f(x) –f(x₀)]/[x- x₀]  0, возьмём предел от обеих частей при x x₀ : f ’(x₀) 0,(*1)

Если x < x₀, тогда [f(x) –f(x₀)]/[x- x₀]  0  f ’(x₀)  0, (*2).

Из (*1) и (*2)  f ’(x₀) = 0.

12. Теорема Ролля (о нуле производной). Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) и следствия из неё (условие постоянства монотонной функции).

Теорема Ролля.

Если 1. fC[a,b] 2. fD(a,b) 3. f(a) = f(b), тогда  (a,b) такая, что f ’() = 0.

Доказательство.

Так как f(x) непрерывна, то она достигает своих точных верхней и нижней граней (2-ая теорема Вейерштрасса). M = sup f(x), m = inf f(x) на [a,b].

Если M = m  f(x) – const. и производная в любой точке равна 0.

Если M  m  sup или inf достигается внутри интервала (a,b) {На концах не может быть, так как f(a) = f(b)}

Пусть sup f(x) достигается на (a,b), тогда  : f() = M.

(a,b),  - точка локального максимума  f ’() = 0.

Теорема Лагранжа.

Если 1. fC[a,b] 2. fD(a,b), то тогда   такая, что f(b) – f(a) = f”()(b-a).

Доказательство.

F(x) = [f(b) – f(a)]/(b-a)  (x-a) + (f(x) – f(a)). Очевидно, что F(a) = F(b) = 0, тогда по теореме Ролля найдётся точка  такая, что F’() = 0.

0 = F’() = f ’() – [f(b) – f(a)] / (b-a) = 0  f(b) – f(a) = f”()(b-a).

Следствие 1. Если f ’(x) = 0  x(a,b), то f(x) = const.

Доказательство. Возьмём произвольные точки x₁, x₂ (a,b). Тогда на отрезке [x₁, x₂] из неравенства f(x₂) - f(x₁) = f ’()(x₂ - x₁)  f(x) = const.

Следствие 2.

1) f ’(x)  0  f (не убывает) на (a,b).

2) f ’(x) > 0  f  на (a,b).

3) f ’(x)  0  f  на (a,b).

4) f ’(x) < 0  f  на (a,b).

Доказательство.  x₁, x₂ (a,b), (x₁,x₂): f(x₂) - f(x₁) = f ’()(x₂ - x₁)  при f ’() > 0 и {x₂ > x₁} то, что f(x₂) > f(x₁).

Следствие 3.

Если f ’(x)B(a,b) {Ограничена}, то функция f(x) – равномерно непрерывна.

Доказательство. M > 0. |f ’(x)|  M.

По теореме Лагранжа: f (x₂) – f(x₁) = f”()(x₂ - x₁)  M|x₂ – x₁| < ,  > 0   =  / (M+1).

13. Теорема Коши (обобщённая форма конечных приращений). Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. Теорема о разрывах производной.

Теорема Коши.

Пусть f, gC[a,b], f, gD(a,b) и g’(x)  0 x(a,b).

Тогда  (a,b) такая, что [f(b)–f(a)] / [g(b)-g(a)] = f ’() / g ’().

Доказательство.

Рассмотрим функцию Ф = f(x) – f(a) – { [f(b)–f(a)] / [g(b)-g(a)] }  (g(x) – g(a)) .

0 = Ф(а) = Ф(b) = 0. Тогда по теореме Ролля найдётся точка (a,b) такая, что Ф’() = 0.

0 = Ф’() = f ’() - { [f(b)–f(a)] / [g(b)-g(a)] }  g’() = 0.

Теорема Дарбу.