Лаборатоные 2 семестр (паскаль) / 2 семестр / Задание №3 Численное дифференцирование

Задание №3

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Цель работы — изучение методов численного дифференциро­вания, вычисление первой и второй производных заданной функции с использованием интерполяционного многочлена Ньютона.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Одной из распространенных задач вычислительной матема­тики, имеющей разнообразные приложения, является численное дифференцирование. Пусть задана сеточная функция

(5.1)

о

(5.2)

пределенная на множестве узлов х_j, ( j = 0, 1,...,n). Для вычисле­ния производной у^(к)(х) порядка k (k=1,2,...) в некоторой течке х выберем т+1 (m≥k) узлов в окрестности этой точки и пост­роим интерполяционный многочлен Р_т(х) степени т (например, многочлен Ньютона (смотри задание №3), проходящий через все выбранные узлы:

где R_m(х) — остаточный член (погрешность) интерполяционного многочлена Р_т(х). Дифференцируя равенство (5.2), находим

(5.3)

П

(5.4)

римем теперь в качестве приближенного значения произ­водной производную многочлена:

Тогда остаточный член (погрешность) производной Q_m,k(x) равняется производной остаточного члена (погрешности) ин­терполяционного многочлена:

Производные (5.4) называются конечно-разностными. На практике наиболее часто используются равномерные сетки, т.е. сетки с равноотстоящими узлами. На таких сетках по­лученные указанным методом первая и вторая конечно-разност­ные производные в узлах х_j, с погрешностью О(h²) относительно шага сетки h даются формулами:

В граничных узлах с номерами j = 0 и j=n приходится вычислять так называемые односторонние производные, выбирая узлы интерполирования только с одной стороны от граничного узла. На равномерной сетке формулы второго порядка для первой и второй производных имеют вид:

Как видно из формул, в односторонних производных для достижения той же точности требуется больше узлов.

Для выполнения лабораторной работы предварительно со­ставляется таблица значений (5.1) одной из заданных ниже функций у(х) в равноотстоящих узлах

на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Значения п выбираются в диапазоне n = 20 -100.

Затем вычисляются точные у'_j, у"_j(аналитически) и приближенные и значения первой и второй производ­ных, полученные по приведенным выше формулам.

Во всех узлах находятся максимальные

и среднеквадратичные

значения погрешности численного дифференцирования, а также номера узлов j_k,max ,в которых достигаются значения ε_k,max (k=1,2).

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ y(x)

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Блок-схема программы численного дифференцирования представлена на Рис.5.1. Для хранения значений сеточной функции, точных и приближенных значений производных, а также их погрешностей следует отвести массивы длиной не менее n + l. Поскольку в данной работе n <100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-­функций. В цикле 3-4-5 вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле 6-7-8 аналитические и численные значения производных и погрешности.

Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию

у = х²/2,

для которой должны получаться точные значения

Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

Отчет должен содержать:

• функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного ва­рианта;

• текст программы;

• результаты вычислений и графики функций:

у'_j, , , у "_j,, (j = 0, 1,..., п),

причем точные и приближённые значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как ставится задача численного дифференцирования?

2. Как строятся формулы численного дифференцирования, какова их погрешность?

3. Оцените погрешность используемых вами формул.

4. Как понижается порядок погрешности численного дифференцирования с ростом порядка производной при том же числе узлов?

5. Как можно построить формулы численного дифференцирования повышенной точности?

6. В чем проявляется некорректность постановки задачи численного дифференцирования?

6