Завдання 5.

Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:

, .

Розв'язок.

Для того, щоб визначити точку та характер умовного екстремуму, спочатку запишемо функцію Лагранжа для даної функції

,

Тепер знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля

Вирішуючи дану систему знаходимо значення х₁ та х₂. Отримали точку 1,6;3,4).Тепер потрібно сформувати матрицю Гессе, що має блочну структуру розмірністю :

де О – матриця розмірністю , що складається з нульових елементів,

Р – матриця розмірністю , елементи якої визначаються так:

,

– транспонована матриця до Р розмірністю ,

Q – матриця розмірністю виду:

, де .

Отже матриця Гессе має вигляд

Тепер визначаємо головні мінори

,

.

Отже, оскільки був отриманий не знакоперемінний ряд, робимо висновок, що отримана точка – це умовний мінімум функції.

Значення цільової функції у даній точці складає:

Билет 16.

1. Знайти розв’язок прямої задачі лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

Розв'язання. Необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція Z максимізує і в системі обмежень є нерівності зі знаком « », то їх слід звести до виду «≤». Тому дані обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний.

.

З а відповідними правилами побудуємо двоїсту задачу: mіп F = 3y₁ + 2y₂;

Задачі несиметричні. Двоїста задача має дві змінні, а отже, її можна розв’язати графічно.

Найменшого значення цільова функція двоїстої задачі F досягає в точці В багатокутника ABCD. Її координати визначимо розв’язанням системи рівнянь:

→

Отже, Y* = (1; 0); mіп F = 3  1+ 2*0 = 3.

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо Y* у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:

→

Оскільки останнє обмеження для оптимального плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, то висновуємо, що третя змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х₃ = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Оскільки перші компоненти плану у₁ = 1 та у₂ = 0 додатні, то обидва обмеження прямої задачі для Х* виконуватиметься як строгі рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х₃ = 0, та визначити решту змінних:

тобто Х* = (-1; 2; 0),

mах Z = -1  (-1) + 1*2 + 1  0 = 3.

Умова min Z = max F = 3 виконується, і тому

Х* = (-1; 2; 0); Y* = (1;0)

є оптимальними планами відповідно прямої та двоїстої задач.

2. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:

,

Вводимо в цільову функцію множник лагранжа:

Z(x1,x2,λ1, λ2)= 3x1²+2x2² + λ1(4-2x1-3x2) + λ2(8-x1-2x2)

Знаходимо похідні: По х1: 6х1-4 λ1- λ2; х2: 4х2-3λ1-2 λ2;

λ1: 4-2x1-3x2; λ2: 8-x1-2x2

Прирівнюємо похідні виражені через лямбда

Звідси: х1=-16; х2=12; λ1=-240; λ2=384

Формуємо матрицю Гессе:

0 0 2 3

= 0 0 1 2

2 1 6 0

3 2 0 4

Визначаємо мінори 3-го та 4-го порядку: =0 =13

Маємо знакосталий ряд, що визначає нашу функцію на мінімум.

Значення ЦФ=1056