Билет № 6

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що крайніми спільними точками прямої ЦФ та 5-кут ABCDE є точки A та D. Координати точок є опт планами задачі.

Координати точки A є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

Координати точки D є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

5) Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

(5.1)

Розв’язання

Маємо задачу лінійного програмування:

(5.2)

при обмеженні

(5.3)

Для знаходження розв’язку даної задачі спочатку слід замінити нашу цільову функцію більш складнішою – функцією Лагранжа.

(5.4)

(5.5)

де – множник Лагранжа.

Визначимо частинні похідні , , побудованої функції Лагранжа:

(5.6)

Далі прирівняємо знайдені частинні похідні до нуля:

(5.8)

Наступним кроком є побудова матриці Гессе, що має блочну структуру розмірністю

(5.9)

де О – матриця ро , скл. з нульових ел.

Р – матриця , елементи якої визн. наступним чином:

, (5.10)

– транспонована матриця до Р розмірністю ,

Q – матриця розмірністю виду:

, де . 5.11)

У нашому випадку матриця Гессе матиме наступний вигляд:

(5.19)

Визн. головні мінори матриці Гессе, починаючи з 2-го порядку:

(5.19)

(5.20)

Як бачимо, головні мінори утворюють знакоcталий ряд, тобто наша точка є точкою мінімуму.

Обчислимо значення цільової функції у знайденій точці:

Білет №7

1. Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом: Z = 2x₁ + 4x₂ (max)

3 x₁ + 2x₂  11,

-2x₁ + x₂  2,

-x₁ + 3x₂  0,

x₁ 0; x₂  0.

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁+с₂х₂=const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁+с₂х₂=const в напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

2. Викор. метод множн. Лагранжа, знайти т. умовн. Екстремуму ЗНП, визначити характер екстремуму:

, .

Прирівнюємо до нуля, розв’язуємо систему, з неї отримуємо х1=-5,13; х2=6,85; =3,42 Записуємо матрицю Гессе

H= Знаходимо визначники

Білет №8

1. Знайти розв’язок прямої задачі лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

Двоїста задача

Графік

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо знач точки А у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:

третє обмеження для опт плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, доходимо висновку, що третя змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х₃ = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Ос­кільки компоненти плану додатні,то обмеження прямої задачі для X ^* виконуватимуться як строгі рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х₃ = 0, та визначити решту змінних:

x1=2/5 x2=14/5 x3=0 ЦФ = 26

2. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:

, .

Прирівнюємо до нуля, розв’язуємо систему, з неї отримуємо х1=3,4; х2=1,8; =-2,4

Записуємо матрицю Гессе

Н=

Це точка мінімуму

Білет №9

1. Знайти розв’язок прямої задачі лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

Двоїста задача

Графік

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо знач точки А у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:

перше обмеження для опт плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, доходимо висновку, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х₁ = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Ос­кільки компоненти плану додатні,то обмеження прямої задачі для X ^* виконуватимуться як строгі рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х₁ = 0, та визначити решту змінних:

x1=0 x2=10 x3=16 ЦФ=26

3. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:

, .

Прирівнюємо до нуля, розв’язуємо систему, з неї отримуємо х1=3,4; х2=1,8; =-2,4

Записуємо матрицю Гессе

Н=

Це точка мінімуму

Білет №10.

№4. Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:

max F = y₁ + 2y₂;

Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.

1. Х = (8/7; 3/7; 0). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:

Х = (8/7; 3/7; 0) є допус­тимим планом

Z = 12  8/7 – 4  3/7 + 2  0 = 12.

Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x₁ = 8/7 > 0; x₂ = 3/7 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати перше та друге обмеження як рівняння і визначити у₁ та у₂:

Підставимо ці значення в третє обмеження системи двоїстої задачі:

;

.

Для визначених значень у₁ = 4; у₂ = 4 це обмеження не виконується, і тому відповідний план у = (4; 4) є недопустимим планом двоїстої задачі. Отже Х = (8/7; 3/7; 0) виявився не оптимальним планом прямої задачі.

2. Х = (0; 1/5; 8/5). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:

План допустимий, і для нього Z = 12  0 – 4  1/5 + 2  8/5 = 12/5.

Оскільки компоненти x₂ та x₃ додатні, то друге і третє обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:

Перевіримо, чи виконується перше обмеження двоїстої задачі для визначених значень у₁ та у₂: 2  8/5 + 2/5 = 18/5 < 12. Отже, перше обмеження виконується, і тому у = (8/5; 2/5) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього

F = 8/5 + 2  2/5 = 12/5 = Z.

З огляду на викладене можна зробити висновок, що Y* = (8/5; 2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X* = (0; 1/5; 8/5) – оптимальним планом прямої задачі.

3. Х = (1/3; 0; 1/3). Для цього плану обмеження прямої задачі виконуються так:

Оскільки Х = (1/3; 0; 1/3) є недопустимим планом, то він не може бути також оптимальним планом прямої задачі.

Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати:

а) ні;

б) так, Х* = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5;

в) ні.

Білет № 11.

№4. Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:

min F = 10y₁ + 2y₂;

Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.

1. Х = (0; 4; 2). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:

Х = (0; 4; 2) є допус­тимим планом

Z = 5  0 – 12  4 + 4  2 = -40.

Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x2 = 4 > 0; x₃ = 2 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати третє та друге обмеження як рівняння і визначити у₁ та у₂:

Підставимо ці значення в перше обмеження системи двоїстої задачі:

;

.

Для визначених значень у₁ = 40/7; у₂ = -4/7 це обмеження не виконується, і тому відповідний план у = (40/7; -4/7) є недопустимим планом двоїстої задачі.

2. Х = (14/5;18/5;0). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:

План допустимий, і для нього Z = 5  14/5 + 12  18/5 + 4  0 = 286/5.

Оскільки компоненти x1 та x2 додатні, то друге і перше обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:

Перевіримо, чи виконується третє обмеження двоїстої задачі для визначених значень у₁ та у₂ 29/5 -6/5 = 23/5 > 4. Отже, третє обмеження виконується, і тому у = (19/3; -2/3) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього:

F = 10*29/5 + 2  -2/5 = 286/5 = Z.

З огляду на викладене можна зробити висновок, що Y* = (29/5; -2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X* = (14/5;18/5;0) – оптимальним планом прямої задачі.

3 Х = (5/3;7/3;1/3). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:

План допустимий, і для нього Z = 5  5/3 – 12  7/3 + 4  1/3 = 55/3.

Оскільки всі компоненти додатні, то обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:

і тому Х = (5/3;7/3;1/3) є неоптимальним планом прямої задачі.

Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати:

а) ні; б) так, Х* = (14/5;18/5;0), min Z = 12/5; в) ні.