Екзамен. Білет №30
Для плану
визначити, чи він є оптимальним для
наступної задачі (застосовуючи теореми
двоїстості й не розв’язуючи задачі
симплексним методом):
Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:
3y1
+ x2 <= 2
-y1 - 2y2 - y3 <=-1
y2 - 3y3<= 4
2y1 + 2y2 + y3 <= -6
Припустимо тепер, що зазначений план є оптимальним планом прямої задачі. Тоді розрахуємо для нього величину цільової функції: Z = 2*3– 1*0 + 4*1 – 6*3 = -8.
Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки всі x більші за 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати обмеження як рівняння і визначити y.
Маємо:
3y1 + y2 = 2
-y1 + 2y2 + y3 = -1
– y2 + 3y3= 4
2y1 – 2y2 – y3 = -6
Не може бути визначений план двоїстої задачі недопустимий, тобто не задовольняються всі обмеження двоїстої задачі. Тому зазначений план Х не є оптимальним планом прямої задачі.
Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:
,
.
Перетворюємо до вигляду Лагранжа:
x1 = 2\3*x2 + 1
2\3*x1 – 1\3 = x1 – 4x2 + 2x2
4\9*x2 + 2\3 – 1\3 = 2\3*x2 + 1 – 4x2 + 2x2
16\9*x2 = 2\3
x2 = 3\8 x1 = 5\4
Знаходимо вид екстремуму:
Немає знакозмінного ряду, тому екстремум функції досягається у мінімумі. Значення функції: Z = 15.828.