Вывод уравнения

Согласно закону Менделеева — Клапейрона^[5]:

Продифференцировав обе части, получаем:

(3)

Если в (3) подставить dT из (2), а затем dU из (1), получим:

,

или, введя коэффициент  :

.

Или

,

что после интегрирования даёт:

.

Окончательно имеем,

,

что и требовалось доказать.

При адиабатическом процессе показатель адиабаты равен   , где R — универсальная газовая постоянная

Политропный процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость c газа остаётся неизменной. Предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс и адиабатный процесс. В случае идеального газа изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропическими.

Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

pVⁿ = const

где величина   называется показателем политропы.

В зависимости от процесса можно определить значение n:

1. Изотермический процесс: n = 1, так как PV¹ = const, значит PV = const, значит T = const.

2. Изобарный процесс: n = 0, так как PV⁰ = P = const.

3. Адиабатный процесс: n = γ, это следует из уравнения Пуассона.

Здесь γ — показатель адиабаты.

4. Изохорный процесс:  , так как  , значит P₁ / P₂ = (V₂ / V₁)ⁿ, значит V₂ / V₁ = (P₁ / P₂)^{(1 / n)}, значит, чтобы V₂ / V₁ обратились в 1, n должна быть бесконечность.

Распределение Максвелла. Средняя, среднеквадратичная и наивероятнейшая скорости молекул.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, vопределяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все   распределены нормально, то   будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если   — функция плотности вероятности для модуля скорости, то: ,

где

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

. Вывод распределения по Максвеллу

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл^{[источник не указан 563 дня]}. Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую молекулу представляем как точку в системе координат  ) встационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема  . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в   остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функцииплотности вероятности для всех направлений одинаковы.

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента   скорости молекулы не зависит от   и   компонент.

 - фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме  .

Правая часть не зависит от   и  , значит и левая от   и   не зависит. Но   и   равноправны, значит левая часть не зависит также и от  . Значит, это константа.

Теперь нужно сделать принципиальный шаг - ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

где   Дж/К - постоянная Больцмана.

Все направления равноправны:

Чтобы найти среднее значение  , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

Отсюда найдём  :

Функция распределения плотности вероятности для   (для   и   аналогично):

Рассмотрим теперь распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости  лежат в шаровом слое радиуса   и толщины  , и   - объем этого шарового слоя.

Так, мы получили   - функцию плотности вероятности, которая и называется распределением Максвелла.