Глава 11. Оценка производственных функций

г лаве. Это нетрудно показать, если мы умножим каждый из вводимых факторов про­изводства, содержащихся в уравнении (22), на некоторую постоянную величину к:

- &(l,0U°-⁷⁵C⁰-²⁵).

Следовательно,

hP' = kP'

и

h = к, т.е. постоянной величине, характеризующей кратность увеличения масштаба производства.

Любая производственная функция Кобба—Дугласа всегда однородна относительно степени л, где величина п эквивалентна сумме показателей степени. Это утверждение справедливо независимо от количества вводимых факторов производства (независи­мых переменных), содержащихся в уравнении.

В исходной (первоначальной) математической модели Кобба—Дугласа вводимые факторы производства были ограничены капиталом и трудом, а их показатели степени были подобраны таким образом, чтобы они в сумме составляли единицу. Это ограни­чивает применение указанной математической модели в качестве производственных функций только теми случаями, когда увеличение масштаба производства неизменно (т.е. увеличение экономической эффективности при увеличении масштаба отсутству­ет). Более поздние математические модели позволили несколько смягчить, сделать менее строгими эти ограничения, так что при анализе реальных производств стало возможным оперировать с более чем двумя вводимыми факторами, а сумма показате­лей степени может быть больше или меньше единицы.

Кратность увеличения масштаба производства может быть теперь быстро.определена путем простого суммирования показателей степени всех переменных вводимых факто­ров. Следует подчеркнуть, что для тех производств, к которым применима производст­венная функция Кобба—Дугласа, особенно на внутрифирменном уровне, она использу­ется обычно в виде более поздних модификаций, а не в своем первоначальном виде.

Некоторые эмпирические исследования эффекта масштаба

При планировании увеличения производства эффект масштаба и обусловленные им наличие или отсутствие экономии издержек производства на единицу продукции, наряду с другими наиболее важными аспектами производственной деятельности фир­мы, находятся в центре внимания менеджера. В частности, осуществляются многие эмпирические исследования производственной функции с целью определить эластич­ность производства, которая характеризует эффект масштаба. Большинство указанных исследований основываются на использовании степенной функции, поскольку она обладает удобными для практических вычислений свойствами, связанными с эластич­ностью, о которых было подробно рассказано в предыдущем параграфе.

Исследования на основе данных временных рядов

В своем исследовании Кобб и Дуглас собрали данные временных рядов на пред­приятиях обрабатывающей промышленности Соединенных Штатов с 1899 по 1992 г. и преобразовали эти данные в индексы (см. предшествующий параграф).

364

_г

Некоторые эмпирические исследования эффекта масштаба

О дной из главных проблем, с которой столкнулись Кобб и Дуглас, явилась следу­ющая задача: как правильно с точки зрения экономической теории решить вопрос разнесения (распределения) целого результата на доли, обусловленные составляющи­ми его частями; каким образом величину (стоимость) конечного продукта распреде­лить между отдельными переменными вводимыми факторами производства (а имен­но: капиталом, землей и трудом), которые, действуя совместно, производят этот ко­нечный продукт? Другими словами, каким образом можно измерить йклад каждого вводимого фактора производства в величину (стоимость) конечного продукта? Чтобы ответить на этот вопрос, они рассчитали (с помощью дифференциального исчисления, используя частные производные) величины предельных производительностей труда и капитала, получив 0,7 5 PLr¹ и 0,25РС~¹ соответственно. На основе этих значений они распределили общий выпуск продукции следующим образом: на долю труда они от­несли 0,75/", на долю капитала 0,25Р, где величина /"представляет собой фактический индекс производства в любом исследуемом году по сравнению с величиной Р\ которая представляет собой вычисленный индекс, полученный на основе использования про­изводственной функции.

В более поздних исследованиях Кобб и Дуглас пересмотрели уровни выпуска про­дукции и индексы труда, чтобы исключить «вековой» тренд¹ из каждого индекса. Сде­лали они это путем вычисления каждого ежегодного индекса в процентах от его пол­ного трендового значения и отбросив условие о том, что сумма показателей степени равна единице. Результаты перечисленных ранее изменений позволили определить уточ­ненное аналитическое выражение производственной функции

Р' = 0,841 °-⁶⁵ С⁰

.30

(30)

Это уравнение позволяет установить, что эластичность труда составляет приблизи­тельно 2/3, а эластичность капитала - 1/3. Хотя сумма показателей степени немногим меньше единицы, различия статистически незначимы. Таким образом, уточненные сведения о производственной функции, полученные Коббом и Дугласом, подтверж­дают их первоначальную гипотезу о постоянном (неизменном) эффекте масштаба (т.е. отсутствии увеличения экономической эффективности при увеличении масштаба производства).

После выхода в свет основополагающей работы Кобба и Дугласа исследования с использованием данных временных рядов были выполнены для других производств, а их результаты опубликованы. Были получены производственные функции для боль­шинства секторов экономики, таких, как сельскохозяйственное производство, добыча полезных ископаемых и обрабатывающая промышленность. Специалисты по эконо­мическому анализу производства, кроме того, разработали производственные функ­ции для таких географических районов, как штат Массачусетс и штат Виктория (Ав­стралия), а также Новый Южный Уэльс. Были вычислены производственные полити­ко-экономические функции таких стран, как Новая Зеландия, Норвегия, Финляндия и Соединенные Штаты.

Особенно интересное практическое приложение функция Кобба—Дугласа нашла в 1975 г. в трудах трех исследователей, которые решили применить ее для анализа дан­ных временных рядов, характеризующих деятельность полиции Лос-Анджелеса, и на основе этого разработать производственную функцию полиции².

Одна из задач исследователей заключалась в том, чтобы идентифицировать мно­гозначительные (выразительные) переменные при отсутствии физического продук­та. Однако они смогли добиться и количественного выхода продукции — в виде

' «Вековой» тренд - это долговременный или постоянный тренд некоторого ряда. Техника его исключения рассмотрена в гл. 9.

² Jeffery I. Chapman, Werner Z. Hirsch, and Sydney Sonenblum, «Crime Prevention, the Police Production Function, and Budgeting», Public Finance 30, no. 2 (1975), pp. 197 - 215.

365