Глава 11. Оценка производственных функций

М Р baX

А Р

ь-\

= Ь.

(18)

Таким образом, мы видим, что эластичность производства постоянна при всех зна­чениях вводимого фактора производства Хи численно равна показателю степени (при основании, выражающем переменный вводимый фактор), который обладает таким интересным и очень удобным математическим свойством.

Другое удобное свойство степенной функции заключается в том, что она становит­ся линейной, если ее прологарифмировать; аналитически это может быть выражено следующим уравнением:

log Q = log a + b log X.

(19)

Графически это означает, что уравнение (19) представляет собой некоторую прямую линию, если оно выражено в его логарифмической форме или в его исходном виде, но на дублирующей логарифмической щкале. Следовательно, для упрощения и удобства вы­числений следует пользоваться степенной функцией в логарифмическом виде.

Степенная функция

с несколькими вводимыми факторами производства

Производственные функции с несколькими переменными вводимыми факторами производства кажутся более реалистичными, нежели производственные функции с единственным вводимым фактором. Общий вид уравнений степенной производствен­ной функции такого типа аналитически может быть представлен как

Q~aX\X\...X^m_n,

(20)

где Q — количество выпускаемой продукции при количестве переменных вводимых ресурсов, X.. Коэффициент а и показатели степени Ь, с,... , т являются постоянными величинами, которые называются параметрами, поскольку их конкретные числен­ные значения устанавливаются в процессе их использования. В условиях производ­ства численные значения параметров устанавливаются с помощью линейной рег­рессии.

В 1928 г. профессора К.В. Кобб и П.Г. Дуглас из Чикагского университета опубли­ковали результаты одного из первых исследований, посвященных экономике обраба­тывающей промышленности Соединенных Штатов. Они постулировали некоторую производственную функцию в виде

'= bL^kC^[-^k,

(21)

где Р' — вычисленный или ожидаемый индекс производства продукции обрабатыва­ющей промышленности по прошествии некоторого характерного промежут­ка времени;

L С

к

индекс занятости в обрабатывающей промышленности; индекс постоянного капитала в обрабатывающей промышленности; дробный показатель степени, изменяющийся от нуля до единицы. Используя статистические данные, характеризующие обрабатывающую промыш­ленность Соединенных Штатов в годовом разрезе за период с 1899 по 1922 г., Кобб и Дуглас вывели производственную функцию для обрабатывающей промышленности США в виде

Р'= 1,01Х°-⁷⁵С⁰²⁵ (Я² = 0,9409),

(22)

362

Подбор производственной функции

г де переменные, входящие в формулу, обозначают те же самые величины, которые перечислены в экспликации уравнения (21), а для всех трех индексов в качестве базо­вого принят 1899 г. (т.е. этот год принят за 100).

Величина R² представляет собой множественный коэффициент детерминации. Этот коэффициент определяет, какая часть изменений зависимой переменной обусловлена изменениями независимых переменных величин (более подробно сущность этого ко­эффициента рассмотрена в гл. 8). Таким образом, около 94% в переменной величине Р' составляет изменяющаяся доля, обусловленная независимыми переменными вели­чинами £ и С в уравнении (22).

Рассмотрим некоторые интересные для нас примеры практического применения результатов этого анализа.

1. Обратите внимание, что уравнение (22) представляет собой некоторую степен­ную функцию, линейную в логарифмическом виде, но нелинейную в первоначальном, исходном виде, в котором она представлена. Поэтому выразим это уравнение в экви­валентном ему логарифмическом виде

log P'= log 1,01 + 0,75 log L + 0,25 log С.

(23)

2. Предельные продукты труда и капитала представляют собой соответствующие частные производные:

МР, = (0,75)(l,01)L-«⁵C⁰-²⁵ = O,7575L-^O25C⁰-²⁵; МР_С = (0,25)(1,01)£°-⁷⁵С-⁰⁷⁵ = 0,2525L⁰⁷⁵C-°-⁷⁵. 3. Совокупный продукт труда и капитала составляет

(24) (25)

Г⁰-

^C

°"⁷⁵ Г⁰-²⁵

^C

(26)

⁰-¹⁵ Г⁰-²⁵

С

^C

(27)

4. Значения эластичности для отдельных вводимых факторов производства могут быть аналитически представлены в виде

MP_L

1,25

= 0,75;

(28)

МР_С

= 0,25.

(29)

Поскольку степенная функция линейна в своем логарифмическом виде, эластич­ ность каждого отдельного вводимого фактора производства представляет собой просто его показатель степени. Следовательно, увеличение трудозатрат на 1% приводит к увеличению уровня выпуска продукции на 0,75%, а увеличение капитала на 1% при­ водит к увеличению уровня выпуска продукции на 0,25%. Так как каждый из показа­ телей степени этих двух независимых переменных величин меньше единицы,, выпуск продукции относительно неэластичен по отношению к любому одному вводимому фактору производства. i

5. Степенной функции Кобба—Дугласа присуще также еще одно удобное математи­ческое свойство — однородность, которая подробно была рассмотрена в предыдущей

363