Глава 6. Функции спроса и эластичность спроса

Q _x = (5 - 25 - 25 + 30) + \5P_Y;

Q_x = (5 - 25 + 45 + 30) - 25P_Z;

Q_x = (5 - 25 + 45 - 25) + 0,001/; (k= 0 + 0,001/.

На что мы здесь хотим обратить внимание, так это на то, что коэффициент каждой переменной в уравнении спроса указывает на воздействие этой переменной на требуемое количество, при условии, что все другие переменные сохраняются постоянными.

Эластичность спроса

Если мы снижаем цену на продукцию, то мы знаем, что продажи возрастут, но насколько? И что произойдет с валовой прибылью? Какова будет динамика продаж, если возрастет доход потребителя? Что произойдет с продажами, если увеличится бюд­жет на рекламу? Будет ли изменение цены на сливочное масло оказывать воздействие на объем продаж маргарина? Если будет, то насколько? На все эти важные вопросы можно ответить, если вы поймете концепцию эластичности спроса и освоите методы ее измерения.

Вообще эластичность любой функции определяется как процентное изменение за­висимой переменной У, которое вызвано изменением на 1% (или относительно не­большим) в независимой переменной X, при условии, что все другие независимые переменные остаются постоянными. Эта общая концепция эластичности применима к любой функции. Например, в главе 10 мы обратим особое внимание на эластичность производства. Теоретически функция спроса имеет эластичность для каждой из мно­жества ее независимых переменных. Однако мы ограничим наше обсуждение четырь­мя видами эластичности спроса, которые наиболее активно обсуждаются в литературе по теории спроса. Рассмотрим эти виды эластичности спроса.

2. Ценовая эластичность спроса, которая измеряет реакцию объема продаж на изме­ нения в ценах.

3. Эластичность спроса по доходу, которая измеряет реакцию объема продаж на изме­ нения в доходах потребителя.

4. Перекрестная эластичность спроса, которая измеряет реакцию объема продаж од­ ного товара на изменения в цене другого товара.

5. Эластичность спроса по рекламе, которая измеряет реакцию объема продаж на изме­ нения в суммах средств, затраченных на рекламу и продвижение товара на рынок.

Ценовая эластичность спроса

Ценовая эластичность определяется как процентное изменение в требуемом количе­стве, которое вызвано изменением на 1 % в цене, в то время как все другие переменные сохраняются постоянными. Общее уравнение для измерения ценовой эластичности имеет следующий вид:

Эластичность =

Процентное изменение в требуемом количестве Процентное изменением цене продукта

174

Эластичность спроса

Условно обозначим

АО.

АЛ

Q

(2)

где e_D — ценовая эластичность спроса;

Q_x — количество продукта X, которое требуется;

Р_х — цена продукта А" (при условии, что все остальные переменные остаются по­стоянными).

Такая эластичность функции спроса просто представляет собой скорость измене­ния, AQ_X/AP_X, умноженную на коэффициент, P_x/Q_x, который является коэффициен­том приведения к ее единицам измерения, использованным в вычислении.

Имеются два типа измерения эластичности. Первый — прямое измерение в кон­кретной точке с использованием формулы точечной эластичности. Второй — измерение средней эластичности по дуге или сегменту кривой спроса с использованием формулы дуговой эластичности. Дуговая эластичность применима к большинству эмпирических измерений ценовой эластичности спроса.

Точечная эластичность (метод вычисления). Точечная эластичность — это предель­ная концепция в том смысле, что она определяет эластичность в специфической точке на кривой спроса. В общем определении эластичности, представленном в уравнении (2), выражение AQ_X/AP_X аппроксимирует наклон криволинейной функции спроса вблизи точки (P_r Q_x), если АР_Х достаточно мала. Если мы хотим иметь точный наклон в этой точке, то мы применяем некоторые другие вычисления и предполагаем, что &Р_Х стре­мится к нулю. Отсюда вытекает условие др'^о (AQ_X/AP_X), которое служит определе­нием производной dQJdP^ Следовательно, мы можем определить точечную эластич-

ность как

dP,

(3)

Рассмотрим функцию спроса Q_x= 30 — 2Р_Г где (^представляет требуемое количес­тво, а Р_х — цену продукта X. Какова ценовая эластичность в точке на кривой спроса,

где Р_х = 6?

По уравнению (3) мы получаем

d P

30-(2x6)

Э то может означать, что если цена составляет 6 долл., то изменение на 1% в цене может вызвать изменение на 0,67% в требуемом количестве. Знак «минус» означает, что переменные движутся в противоположном направлении.

Если кривая спроса линейная, то ее наклон постоянен, так что (dQ_x/dP_x) = (&Q_X/AP_X) везде вдоль линии. Отношение (P/Q), однако, разное в каждой точке вдоль линии. Следовательно, эластичность различна в каждой точке на линии, независимо от того, является ли кривая линейной или не является.

Если имеется множество независимых переменных в функции спроса, то точка эла­стичности каждой переменной, X, может быть найдена с помощью частных производ­ных, т.е. AQ/AX_j = dQ/dX.. Если функция спроса линейная, то частные производные оказываются коэффициентами соответствующих переменных.

175

Г лава 6. Функции спроса и эластичность спроса

Д уговая эластичность. Как уже говорилось ранее, точечная формула уравнения (3) отражает предельную концепцию и она действительна лишь для небольших передвиже­ний от точки к точке вдоль кривой спроса. Более того, из уравнения (3) следует, что необходимо знать точное изменение в Q_r вызванное очень малым изменением в Р_г т.е. требуется, чтобы функция спроса была известна. Однако имеется много случаев, когда нам нужно измерить эластичность, а функция спроса неизвестна. Бывает, что нас интересует более крупный сегмент кривой спроса. Для этого нам необходима формула дуговой эластичности, которая вычисляла бы среднюю эластичность между двумя точками на кривой спроса.

Чтобы объяснить сущность формулы дуговой эластичности, предположим, что цена папуа (тропического фрукта) в супермаркете «Safeway» в Гонолулу снизилась с 0,50 долл. за фунт до 0,38 долл. за фунт, вследствие чего средние продажи папуа увеличились с 300 до 450 фунтов в день, что наглядно показано далее.

Р (в центах за один фунт) Q_x (в фунтах)

5 0 38

300 450

Э ти данные определяют две точки вдоль кривой спроса, уравнения для которых мы не составили. Какова средняя эластичность между этими двумя точками? Если мы возьмем верхнюю точку (50, 300) за нашу базовую точку, то

Эластичность цены =

Процентное изменение в 0_Л Процентное изменение в /*,

450 - 300 300

3 8-50 50

450- 300 _у 50 _ 150 _у 50 ___2Д)8

300

38-50 300 _12

Если мы используем нижнюю точку (38, 540) в качестве нашей базовой точки и будем перемещаться по кривой, то

	300-	-450
Ценовая _	450		300 - 450	38	-150	38
эластичность	50-	-38	450	50-38	450	12

38

Теперь мы видим, что ценовая эластичность папуа совершенно различна в верхнем и нижнем концах этого сегмента кривой спроса.

Что делать? Решение заключается в том, чтобы найти среднюю эластичность для данного приращения меняющегося спроса. Для того чтобы сделать это, нам необходи­мо изменить базу для вычисления эластичности на среднее между двумя базами (Р_р QJ и (Р₂, Q₂) ^на концах дуги. Средняя цена составляет (Р₂ + Р_{)/2, а среднее требуемое ко­личество равно (Q₂ + Q_{)/2. Эти средние координаты определяют точки на полпути между ними вдоль прямой линии. Затем мы модифицируем базисное определение эластичности, чтобы получить формулу дуговой эластичности с использованием средних координат Р и Q. Изменения в Р и Q — это изменения между конечными

176

Э ластичность спроса

т очками, т.е. АР = Р₂ — Р₁ и AQ = Q₂ — Q_v Мы обозначаем дуговую эластичность как Е_р, я не г_в, для того, чтобы отличить дуговую эластичность от точечной эластичности. Дуговая эластичность определяется следующим образом:

	AQX	Q2 + Ql	2[Q2
Е»-	Qx	2	Q2
	APX	p2 -л	2(P2	-pj
	Рх		F2	ft," +

(4)

П рименив формулу дуговой эластичности к нашему примеру, получим

(450 - 300)(38 + 50) _ (150)(88) _ 13,200

—■— — . -. - —

(450 + 300)(38 - 50) (750)(-12) -9,000

Это означает, что в среднем в пределах изменения цен от 50 до 38 центов за фунт при изменении цен на папуа на 1% требуемое количество будет меняться на 1,47%.

Подводя итог, мы еще раз подчеркиваем, что точечная эластичность — это предель­ная концепция, потому что она измеряет эластичность в конкретной точке кривой спроса. Она может быть использована для анализа воздействий очень небольших из­менений в цене. Более широкая концепция дуговой эластичности позволяет прово­дить измерения средней эластичности по более широкому диапазону изменений в цене. Дуговая эластичность, таким образом, более адекватный инструмент анализа эмпири-г ческих данных, касающихся цен и требуемых количеств.

з адача -

Д опустим, что функция спроса равна Q_x = 100 - 5Р_Х.

Вопросы

а. Какова ценовая эластичность спроса в точке, в которой цена равна 5 долл., если цена увеличивается до 7 долл.? Какова ценовая эластичность в точке, в кото­ рой цена составляет 7 допл., если цена снижается до 5 долл.?

б. Какова средняя эластичность между этими точками?

Решения

а. Если Р_х = $5, то Q_x = 100 - 5(5) = 75. Если Р_х - $7, то Q_x - 100 - 5(7) = 65. Эластичность в конечных точках дуги равна: в точке (5, 75)

dP_v

JL=-5 _L L-0,33;

75

177