Вопрос 4: классическое опред-ие вероятности события, свойства вероятности. Статистическое опред-ие вероятности

Вер-ть случ соб – числен мера объективн возм-ти его наступл. Классич: Всего n исх-ов, m исх-ов – сост соб А. основные условия: а) пространство Ω должно быть конечным; б) все исходы Wi должны быть равновозможными. n – общее число исходов, m – кол-во исходов, благоприятствующих появлению события A. Вер сл соб А-отнош числа исх-ов, благопр-их появл А, к общ числу исх-ов. p(A)=m/n. Усл: Ω – конечн мн-во, равновозм-ть исх-ов. Св-ва: 1.для люб АэΩ Р(А)≥0. 2.Р(Ω)=1(вер достов соб=1). 3. если АВ=Ø(несов), то вер появл хб 1го=сум вер-ей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). 4.0≤Р(А)≤1. 5. Р(А)+Р(неА)=1 6.ф-ла слож: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Статист: Эксп-нт - n раз, m раз появ-ся А. W(A)=m/n – относ. частота появл соб А. При n→∞, w(A)→P(A), т.е. Стат вер-ть А - предел частоты соб А при неогр-ом увелич числа опыт: P(A)=lim (n)nA/n, n - общ чис опыт, nА – чис опыт, где появ А. Св-ва: 1.для любА P(A)≥0 2.P(Ω)=1 3. if AB=Ø(несов), то P(A+=B)=P(A)+P(B). Обл-ть D, А=(попад тчк в d), Р(А)=Sd/SD. mes-мера мн-ва D. Геометр вер-ть А - отнош меры обл-ти, благопр-щей появл А к мере всей обл-ти D. Р(А)=mesd/mesD.

Вопрос 5: теорема сложения вероятностей

Пусть А и В – произвол соб. Состав 3 несовм: АВ, А-В, В-А. Тогда вер-ть появл хб 1го из них:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). +рис. Док-во: A+B=A+(B-AB), B=AB+(B-AB), Р(А+В)=Р(А)+Р(В-АВ) (где Р(В-АВ)=Р(В)-Р(АВ)), P(B)=P(AB)+P(B-AB). Рассм А1,А2,An-попар несовм соб. Р(А1+А2+An)=Р(А1)+Р(А2)+Р(An).Р (дожд)=0.4, Р(вет)=0.7. Р(дож*вет)=0.2. Р(дож+вет)=0.4+0.7-0.2=0.9

Вопрос 6: условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть есть 2 случайных события с ненулевой вероятностью и несовместные: 1)P(A)>0, P(B)>0, AB=пустое мн-во. Если В произошло, то Р(А)=0. Условной вер-ю события А при условии, что событие В произошло, наз-ся число Р(А/B)=Р(АВ)/Р(В), где Р(В)>0. Р(А) – безусловная вероятность. Случайные события наз-ся независимыми, если условная вер-ть А при условии, что В совпадает с безусловной вер-тью А. Р(А/B)=P(A), P(B/A)=P(B).

Теорема умножения: для двух произвольных событий А и В вероятность их совместного появления равна: Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=P(A)*P(B/A). Доказ-во следует из опред-ия условной вер-ти. Следствие из теоремы: если А и В – независимые события, то: P(AB)=P(A)*P(B) (необходимое и достаточное условие независ-ти двух событий).

Теорема умножения для n-произвольных событий Р (А1*А2*А3*…Аn) = Р(А1) * Р(А2/А1) * Р(А3/А1А2) * … * Р(Аn/А1А2…Аn-1).

Вопрос 7: формула полной вероятности. Формула Байеса

Формула полной вер-ти: Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2,…Вn. Т.е. появление события А означает осуществление одного из несовместных событий В1А,В2А,…ВnА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р(А)= Р(В1А)+Р(В2А)+…+Р(ВnА)(*). По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В1А)=Р(В1)РВ1(А); Р(В2А)=Р(В2)РВ2(А);…; Р(ВnА)=Р(Вn)РВn(А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности Р(А)=РВ1(А)Р(В1)+РВ2(А)Р(В2)+… +РВn(А)Р(Вn). Примеры: есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго – 0,9. Найти вер-ть того, что взятая наудачу деталь – стандартная. Решение. А – {извлеченная деталь стандартна}; В1 – {деталь извлечена из первого набора}; В2 – {из второго}. Вероятность того, что деталь извлечена из первого(второго) набора, равна Р(В1)=Р(В2)= ½. Условная вероятность того, что из I набора (II набора) будет извлечена стандартная деталь, РВ1(А)=0,8 {РВ1(А)=0,9}. Искомая вер-ть того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна Р(А)= Р(В1)РВ1(А)+ Р(В2)РВ2(А)=0,5*0,8+0,5*0,9=0,85.

Формула Байеса: Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…Вn, образующих полную группу. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: Р(А)=РВ1(А)Р(В1)+РВ2(А)Р(В2)+…+РВn(А)Р(Вn).(*) Пусть произведено испытание, вероятность результате которого появилось событие А. Определим, как изменились вероятности гипотез, т.е. будем искать условные вероятности РА(В1), РА(В2),…,РА(Вn).По теореме умножения Р(АВ1)=Р(А)РА(В1)= Р(В1) РВ1(А). Отсюда РА(В1)= {Р(В1)*РВ1(А)}/Р(А). Заменим Р(А) по формуле (*), получим РА(В1)= {Р(В1)РВ1(А)} /{Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РВn(А)}. Аналогично находятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi(I=1,2,…,n) м.б. вычислена по формуле РА(Вi)={Р(Вi)РВi(А)}/{Р(В1)РВ1(А)+ Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РВn(А)}. Это – формулы Байеса, они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Пример: В некоторой отрасли 30% продукции производится фабрикой I, 25% фабрикой II, остальная часть – фабрикой III. На фабрике I в брак идет 1% всей продукции, на II – 1,5%, на III – 2%. Купленная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой I? Решение: А – {купленное изделие оказалось браком}; Н1 – {изделие произведено фабрикой I}; Н2 – {фабрикой II; Н3 фабрикой III}. Имеем: р(Н1)=0,3; р(Н2)=0,25; р(Н3)=0,45; РВ1(А)0,01; РВ1(А)=0,015; РВ1(А)=0,02; р(А)=0,01*0,3+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015; РА(В1)= (0,01*0,3)/0,015=0,2. Т.о. из всех бракованных изделий отрасли в среднем 20% выпускаются фабрикой I.