Вопрос №15

Сколькими способами 4 различных учебника можно раздельть поровну между двумя студентами?

Сочетание.

С₄²=4!/2!*2!=6

Вопрос № 16. Сколько различных «слов» можно составить из 2 букв «а» и 4 букв «В»?

Например: 1) ввавав, 2) ававвв. Рассмотрим номера букв а в этих словах. Для слова 1) это номера 3 и 5, а для слова 2) – 1 и 3. Совокупность таких номеров – это подмножество из 2-х элементов в множестве Х=1,2,3,4,5,6, состоящем из 6-ти элементов. И обратно, каково бы ни было подмножество из 2-х элементов в множестве Х, ему отвечает слово из 2-х букв «а» и 4-х букв «в». Т. о., таких слов различного вида будет столько же, сколько различных подмножеств из 2-х элементов имеется в множестве Х, т. е. С²₆ = 6!/(2!*4!)= 15.

Вопрос № 17. Напишите формулу бинома Ньютона. Укажите вывод.

(p+q)ⁿ=Cⁿ_n+C_n^n-1q+...+С_n^kp^kq^n-k+...+С⁰_nqⁿ.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (след-но, вер-ть появления q=1-р). Рассм. В кач-ве дискретной С.В. Х число появлений события А в этих испытаниях. Надо найти закон распределения величины Х. Для этого требуется определить возм. Значения Х и их вероятности. Событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза и т. д., либо n раз. Т. О., возможные значения Х таковы: х₁=0, х₂=1, х₃=2, ..., х_n+1=n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего воспользуемся формулой Бернулли: P_n(k)=C^k_n*p^k*q^n-k, где k=0,1,2,...,n. Эта формула – аналитич. выражение искомого закона распределения. Биномиальным называют распределение вер-тей, опред. формулой Бернулли, правая часть равенства – общий член разложения бинома Ньютона:(p+q)ⁿ=Cⁿ_n+C_n^n-1q+...+С_n^kp^kq^n-k+...+С⁰_nqⁿ.

Вопрос № 18. Чему равна сумма С⁰_n +С¹_n +С²_n +…+Сⁿ_n? Почему?

С⁰_n +С¹_n +С²_n +…+Сⁿ_n = 2ⁿ; т.к. сумма в левой части выражает число всех подмножеств множества Х (С⁰_n есть число 0-членных подмножеств, С¹_n - число 1-членных подмножеств и т.д.). Число различных подмножеств n-членного множества Х равно 2ⁿ. Оно соответствует числу различных строк длиной n, состоящих из 0 и 1 и соответствующих подмножеству Х множества А={a_1,a_2,…,a_n}.1 или 0 зависит от того, входит или нет а в мн-во Х. По правилу произведения число таких строк равно 2ⁿ.

Вопрос № 19. На бирже продаются акции 5 предприятий. Сколькими способами можно купить 14 акций?

Для решения сопоставим каждому набору из 14 акций этих предприятий «слово» из 14 единиц и 4 нулей следующим способом. Пишем единицы в количестве, равном числу акций каждого предприятия, и нули для отделения акций предприятий друг от друга. Число таких комбинаций равно С⁴₁₄₊₄=3060  14 акций 5 пред-й можно купить 3060 способами.

Вопрос № 20. Дайте определение условной вероятности Р_В(А). Приведите примеры, когда: 1) Р_B(А)>Р(А); 2)Р_B(А)<Р(А); 3)Р_B(А)=Р(А).

Условной вероятностью Р_B(А)называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Р_B(А)=Р(АВ)/Р(В). 3)Р_B(А)=Р(А): А={попадание в цель I стрелком}; В={попадание в цель II стрелком}.

Вопрос № 21. Когда события А и В называются независимыми? Приведите примеры. Почему из независимости А и В следует: 1) независимость В и А; 2) независимость А и В; 3) независимость А и В?

Событие А называется независимым от В, если появление события В не изменяет вероятности события А, т. е. если условная вероятность события А равна его безусловной вероятности: Р_B(А)=Р(А). Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий. События А₁, А₂, … А_n независимы в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных. Примеры: вероятность попадания стрелком в цель не зависит от попадания в цель других стрелков.

1)Т. к. Р_B(А)=Р(А)и Р(В)Р_B(А)=Р(А)Р_А(В)из теоремы умножения вероятностей, то Р(В)Р(А)=Р(А)Р_А(В), отсюда Р_А(В)=Р(В), т. е. событие В не зависит от события А, Итак, если соб. А не зависит от соб. В, то  соб. В не зависит от соб. А; это значит, что св-во независимости событий взаимно. 2)3) А=АВ+АВ  Р(А)= Р(АВ)+Р(АВ), или Р(А)=Р(АВ)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ)=Р(А)1-Р(В), или Р(АВ)=Р(А)Р(В). Независимость событий А и В, А и В – следствие доказанного утверждения.

Вопрос № 22. Как соотносятся понятия «независимые события А и В» и «несовместные события А и В»? Приведите примеры.

Событие А называется независимым от В, если появление события В не изменяет вероятности события А, т. е. если условная вероятность события А равна его безусловной вероятности: Р_B(А)=Р(А). Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий. События А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Примеры: независ.: вероятность попадания стрелком в цель не зависит от попадания в цель других стрелков.; несовм.:

1)Брошена монета. Прявление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовм.;2) из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.

Вопрос № 23. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий А и Вероятность; б) для любых А и В?

а)Событие А называется независимым от В, если появление события В не изменяет вероятности события А, т. е. если условная вероятность события А равна его безусловной вероятности: Р_B(А)=Р(А). Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух независимых событий. б)Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную а предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)Р_А(В). Док-во. По определению условной вероятности, Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А). Отсюда Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р(А₁ А₂ А₃… А_n)=Р(А₁) Р_А1(А₂)Р_А1А2 (А₃)… Р_А1А2Аn-1(А_n), где Р_А1А2Аn-1(А_n)- вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события А₁А₂А_n-1 наступили. В частности, для 3-х событий Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

Вопрос № 24. Как определяется независимость в случае 3-х событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием 2-х монет события А,В,С означают: А - на первой монете выпал герб; В – на второй монете выпал герб; С – обе монеты упали не одну сторону. Проверьте, что любые два из событий А,В,С независимы. Будут ли независимы все три события?

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р(А₁ А₂ А₃… А_n)=Р(А₁) Р_А1(А₂)Р_А1А2 (А₃)… Р_А1А2Аn-1(А_n), где Р_А1А2Аn-1(А_n)- вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события А₁А₂А_n-1 наступили. В частности, для 3-х событий Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

1)События А и В независимы, т.к. появление события В не изменяет вер-ти события А и наоборот: Р_B(А)=Р(А)=1/2 и Р_А(В)=Р(В)=1/2.

2)События В и С независимы, т.к. вероятность того, что обе монеты упадут на 1 сторону, не зависит от наступления или ненаступления события В: Р_B(С)=Р(СВ)/Р(В)= (1/2*1/2)/1/2=1/2; Р_B(С)=Р(С)=1/2.

3)Аналогично доказывается независимость событий А и С.

Все события А,В,С не явл. независимыми, вероятность события С зависит от вероятности событий А и В: Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)= 1/2*1/2*1=1/4.

Вопрос № 25. Что такое полная группа событий? Образуют ли полную группу события А иА? Если А,В,А+В – полная группа, то будут ли полной группой события А,В?

События Н₁,Н₂,…Н_n образуют полную группу, если при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из них. Если события Н₁,Н₂,…Н_n, образующие полную группу, несовместны, то для любого события А справедливо равенство Р(А)=Р_Н1(А)Р(Н₁)+Р_Н2(А)Р(Н₂)+…+Р_Нn(А)Р(Н_n)- формула полной вероятности. События Н₁,Н₂,…Н_n называют гипотезами.

События А иА образуют полную группу, т.к. сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1: Р(А₁)+Р(А₂ )+…+Р(А_n)=1; и сумма вероятностей противоположных событий тоже равна 1: Р(А)+Р(А)=1.

Вопрос № 26. Упростите (А+В)*(А+В).

(А+В)*(А+В)=АА+АВ+АВ+ВВ=А+АВ+АВ+ВВ=АВ+АВ=А*(В+В)=А*=А

Вопрос № 27. Выведите формулу полной вероятности. Приведите примеры. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,…В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соотв. условную вероятность события А: Р(А)=Р_В1(А)Р(В₁)+Р_В2(А)Р(В₂)+…+Р_Вn(А)Р(В_n).

Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁,В₂,…В_n. Т.е. появление события А означает осуществление одного из несовместных событий В₁А,В₂А,…В_nА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р(А)= Р(В₁А)+Р(В₂А)+…+Р(В_nА)(*). По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В₁А)=Р(В₁)Р_В1(А); Р(В₂А)=Р(В₂)Р_В2(А);…; Р(В_nА)=Р(В_n)Р_Вn(А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности Р(А)=Р_В1(А)Р(В₁)+Р_В2(А)Р(В₂)+… +Р_Вn(А)Р(В_n). Примеры: есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго – 0,9. Найти вер-ть того, что взятая наудачу деталь – стандартная. Решение. А – {извлеченная деталь стандартна}; В₁ – {деталь извлечена из первого набора}; В₂ – {из второго}. Вероятность того, что деталь извлечена из первого(второго) набора, равна Р(В₁)=Р(В₂)= ½. Условная вероятность того, что из I набора (II набора) будет извлечена стандартная деталь, Р_В1(А)=0,8 {Р_В1(А)=0,9}. Искомая вер-ть того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна Р(А)= Р(В₁)Р_В1(А)+ Р(В₂)Р_В2(А)=0,5*0,8+0,5*0,9=0,85.

Вопрос № 28. Выведите формулу Байеса. Приведите примеры.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,…В_n, образующих полную группу. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: Р(А)=Р_В1(А)Р(В₁)+Р_В2(А)Р(В₂)+…+Р_Вn(А)Р(В_n).(*) Пусть произведено испытание, вероятность результате которого появилось событие А. Определим, как изменились вероятности гипотез, т.е. будем искать условные вероятности Р_А(В₁), Р_А(В₂),…,Р_А(В_n).По теореме умножения Р(АВ₁)=Р(А)Р_А(В₁)= Р(В₁) Р_В1(А). Отсюда Р_А(В₁)= {Р(В₁)*Р_В1(А)}/Р(А). Заменим Р(А) по формуле (*), получим Р_А(В₁)= {Р(В₁)Р_В1(А)} /{Р(В₁)Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Вn(А)}. Аналогично находятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы В_i(I=1,2,…,n) м.б. вычислена по формуле Р_А(В_i)={Р(В_i)Р_Вi(А)}/{Р(В₁)Р_В1(А)+ Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Вn(А)}. Это – формулы Байеса, они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Пример: В некоторой отрасли 30% продукции производится фабрикой I, 25% фабрикой II, остальная часть – фабрикой III. На фабрике I в брак идет 1% всей продукции, на II – 1,5%, на III – 2%. Купленная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой I? Решение: А – {купленное изделие оказалось браком}; Н₁ – {изделие произведено фабрикой I}; Н₂ – {фабрикой II; Н₃ фабрикой III}. Имеем: р(Н₁)=0,3; р(Н₂)=0,25; р(Н₃)=0,45; Р_В1(А)0,01; Р_В1(А)=0,015; Р_В1(А)=0,02; р(А)=0,01*0,3+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015; Р_А(В₁)= (0,01*0,3)/0,015=0,2. Т.о. из всех бракованных изделий отрасли в среднем 20% выпускаются фабрикой I.

Вопрос № 29. Когда несколько опытов называются независимыми? Приведите примеры.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в любом из этих испытаний не зависит от исхода других испытаний. Примеры: попадание в цель несколькими стрелками, выпадение различного числа очков при бросании 2-х костей.

Вопрос № 30. Что такое схема Бернулли? Какими числами задается схема Бернулли?

Схема Бернулли: Последовательность n независимых опытов, если вероятность некоторого исхода А (называемое обычно «успехом») одна и та же во всех опытах и равна p. Пусть k – любое из чисел 0,1,2,…,n. Обозначим Р_n(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успех наступит k раз. Справедлива формула Бернулли: Р_n(k)= C^k_n*p^k*q^n-k.Рассмотрим числа Р_n(0),Р_n(1),…, Р_n(n). Наивероятнейшее число успехов, т.е. число, на которое падает наибольшая вероятность, приближенно равно np. Точнее: если число =np+p является целым, то максимум чисел Р_n(k) достигается при k= и k=-1; если же - не целое, то максимум достигается при целом, ближайшем слева к числу .

31.Выведите формулу для вероятностей P_n(k) в схеме Бернулли. Чему равна сумма P_n(k) ?

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n независимых испытаний событие A наступит k раз и не наступит n - k раз, по теореме умнож-я вер-тей независимых событий равна . Таких слож.событий м.б.столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. . Т.к.эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вер-тей несовм-х событий искомая вер-ть равна сумме вер-тей всех возможных сложных событий. Поскольку вер-ти всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вер-ть равна вер-ти одного сложного события, умноженной на их число(формула Бернулли): P_n(k) = .

P_n(k) = 1

32. Опишите поведение вер-ти P_n(k) как функции от k.При каком k эта ф-ция достигает максимума? Укажите содержательный смысл результата.

Функция достигает максимума при к = n. Т.к. при этом вероятность будет равна 1 и минимума при к = 0 т.к вероятность будет равна 0

33. Укажите выражение для ф-ции Лапласа. Докажите нечетность этой ф-ции.

Ф(х) = , функция Ф(х) – это ф-ция Лапласа. Ее значения указываются в спец.таблице (более подробно см.Гмурман, стр.59). В таблице даны значения для х0, для х0 пользуются той же таблицей,т.к.ф-ция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). Ф(-х)= = - =- Ф(х).

34. Что такое случайная величина (с.в.), дискретная с.в.? Может ли таблица рассматриваться как закон распред-я дискретной с.в.?

Х	0	-6	6
P	0,3	0,4	0,1

Случайной называют величину (с.в.), которая в результате испытания примет одно и только одно значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее учесть невозможно. Обозначается X, Y, Z…

Дискретной (прерывной) с.в. называют с.в., которая принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывной нвазывают с.в., которая м.принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Нет, не может. Т.к.при табличном задании закона распределения дискр.с.в.первая строка показывает возможные значения, а вторая – их вероятности. Так как события x_1, x_2,…,x_n образуют полную группу, то сумма вероятностей из второй строки д.б.равна 1, а в данной ситуации этого нет.

35. Дана дискретная с.в.с законом распределения (см.ниже). Как найти вер-ть Р(aXb)?

x1	x2	…
p1	p1	…

При табличном задании закона распределения дискр.с.в.первая строка показывает возможные значения, а вторая – их вероятности. Так как события x_1, x_2,…,x_n (aXb) образуют полную группу, то сумма вероятностей из второй строки Р(aXb) д.б.равна 1.

36. Какой закон распределения называется биноминальным? Почему?

Биноминальным распределением с параметрами n и p называется распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в каждом испытании p (это распр-е вероятностей, определяемое формулой Бернулли). Закон наз-ся “биноминальным”, т.к.правую часть равенства P (k) = можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: Первый член разложения определяет вер-ть наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаний;второй член определ-т вер-ть наступления события n-1 раз;…; последний член определяет вер-ть того, что событие не появится ни разу.