Вопрос №1

Что такое случайное событие? Какое случайное событие называется массовым? Приведите примеры.

Событие называется случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может произойти, либо не произойти.

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 области. Выстрел – это испытание. Попадание в опр. область мишени – событие.

Достоверные события – события, кот. в результате д. опыта обязательно наступают. Н-р, бросание кости (целое число очков).

Невозможные события – никогда не наступают. Н-р, получение 2х выигрышей по одному лот. билету.

В опытах, которые можно проводить неограниченное число раз любое случайное событие, которое возможно в такого рода событиях, назыв. массовым или статистич. Н-р, годн. или бракованная деталь.

Вопрос №2

Сформулируйте «статистическое» определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет неравенствам 0 ≤ Р ≤ 1? Возможны ли случаи Р=0 и Р=1?

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤Р(А)≤1.

В качестве статистической вероятности события понимают относительную частоту или число, близкое к ней. Свойства вероятностей вытекают из классического определения и сохраняются для статистического.

А – случайное событие. N раз проведен опыт. А наступило в N с индексом А случаях. =Nс индексом А/N - частота наступления события А – свойство устойчивости.  всегда 0≤≤1. След-но, 0≤р(А)≤1. [Фигурная скобка]

А - достоверно→ (N с индексом А =N, =1  р(А)=1)

А - невозможно (N с индексом А = 0, =0  р(А)=0)

Вопрос №3

Какое событие называется суммой события А и В? произведением АВ? Какое событие обозначается А? Перечислите все случаи наступления события АВ+С.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий. Н-р, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из двух событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Н-р, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А. Пример: попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если А – попадание, тоА – промах.

Случаи наступления события АВ+С :

A	В	С	АВ+С
+	+	+	+
+	+	-	+
+	-	+	-
+	-	-	+
-	+	+	-
-	+	-	+
-	-	+	-
-	-	-	+

Вопрос №4

Объясните, почему верно равенство А = АВ + АВ.

По правилу произведения вероятностей Р(А)=Р(А)Р(В)+Р(А)Р(В), т.е. Р(А)=Р(А)[Р(В)+ Р(В)]. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(В)+ Р(В)=1. Док-во: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Т.о. Р(А)=Р(А).

Вопрос №5

Докажите равенства (А+В+С)[черта над всем]=А*В*С,АВС=А+В+С.

А+В+С – наст по меньшей мере одно из А,В,С

А+В+С(черта над всем) – не наступает ни одно из А,В,С или А, В, С – одновременно, т.е. А*В*С.

АВС – наступают все события А,В,С вместе

АВС – не наступают все А,В,С вместе, т.е. не наст ни одно и А,В,С =А+В+С

Вопрос №6

Что означает событие А1А2А3(с чертой) + А1А2(с чертой)А3 + А1(с чертой) А2А3?

А – выигрыш по 1,2,3 билетам

А1А2А3(с чертой) + А1А2(с чертой)А3 + А1(с чертой) А2А3 - выигрыш ровна по двум билетам.

Вопрос №7

Какие события А и В называются несовместными? Что такое правило сложения вероятностей?

Различные соотношения между событиями влекут за собой опр. зависимости между их вероятностями.

А,В – несовместные, если они не могут наступить вместе в одном опыте. Н-р, кость: А - вып-е четного, В - вып-е нечетн.  А и В – несовместные.

Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)