Основные выборочные числовые характеристики

X: x₁, x₂, …, x_n. X – x₁ | x₂ | x₃ | x_n; w_i – 1/n | 1/n | 1/n | 1/n. Характеристики положения. 1) Выборочное среднее - X=1/n*(n;i=1) x_i. 2) Мода (наиболее часто встречающееся в выборке значение) – x_mo (с крышкой). 3) Медиана (среднее значение ВР) – x_me (с крышкой); n – четно => x_me (с крышкой) = (x_n/2+x_n/2+1)*1/2; n – нечетно => x_me (с крышкой) = x_n+1/2. Характеристики значений. 1) Размах выбора – R=x_max – x_min. 2) Выборочная дисперсия (оценка дисперсии) - ²=1/n*(n|i=1) (x_i-X)². 3) Стандартное отклонение - =sqr(²). Характеристики формы кривой распределения. 1) Выборочный показатель асимметрии - A_s (с крышкой) = (1/n*(n|i=1) (x_i-X)³) / ³. 2) Выборочная оценка показателя эксцесса – E_k (с крышкой) = 1/n*(n|i=1) (x_i-X)⁴ * 1/⁴.

Графическое представление вариационного ряда (эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон частот)

1. Полигон частот: (Z_i; n_i) либо (Z_i; w_i); 2. Fn(x) – кумулятивная кривая; 3. гистограмма – ступенчатая фигура (аналог плотности) для интервального вариационного ряда; 4. кумулятивная кривая (Ci; w_i). См. приложение 1.5.

Оценки метода максимального правдоподобия параметров нормального распределения

Найдем оценки параметров a и b = ² нормального распределения. Из формулы – L(x, )={{П(n|i=1) P(X=x_i, ), если X дискретна; П(n|i=1) f_X(x_i, ), если X непрерывна – функция правдоподобия L(x, a, b)=(1/(sqr(2b)))ⁿ exp[-(n|i=1) (x_i-a)²/2b]. Логарифмическая функция правдоподобия – ln L(x, a, b)=-n/2*ln(2) – n/2*ln b – (n|i=1) (x_i-a)²/2b. Частные производные – ( ln L)/ a = (n|i=1) (x_i-a)/b, ( ln L)/ b =

–n/2b + (n|i=1) (x_i-a)²/2b². Система ( ln L(x,  - с крышкой)) / ( _j) = 0, j=1, 2, …, k принимает вид: {{(n|i=1) (x_i-a)=0; (n|i=1) (x_i-a)²/b=n}}. Решение: a^*=x, b^*= (n|i=1) (x_i-x)²/n=² (с крышкой). Проверим достаточные условия max функции ln L в точке (a^*, b^*) => A=(² ln L)/( a²) | (a^*, b^*) = -n/² (с крышкой), B=(² ln L)/( a  b) | (a^*, b^*) = 0, C==(² ln L)/( b²) | (a^*, b^*) = n/2⁴ (с крышкой), =AC-B²= n²/2⁶ (с крышкой). Т.к.  > 0, а A < 0, то точка (a^*=x, b^*=² (с крышкой)) – точка максимума функции ln L. Оценки максимального правдоподобия: a^(П) (с крышкой) = x, ^2(П) (с крышкой) = ² (с крышкой) – данные оценки совпадают с оценками метода моментов.

Оценка метода максимального правдоподобия параметра p биномиального распределения

Рассмотрим следующий пример. Случайная величина X – число успехов в единичном испытании: P(X=x) = p^x(1-p)^1-x, x=0, 1; p – вероятность успеха в единичном испытании. Найдем оценку максимального правдоподобия p^(П) (с крышкой), располагая выборкой x₁, x₂, …, x_n, где x_i – число успехов в i-ом испытании. Согласно формуле – L(x, )={{П(n|i=1) P(X=x_i, ), если X дискретна; П(n|i=1) f_X(x_i, ), если X непрерывна – L(x, p)=П(n|i=1) P(X=x_i, p)=p^{(n|i=1) x}_i * (1-p)^{n-(n|i=1) x}_i. Ln L(x, p)=(n|i=1) x_i ln p + (n-(n|I=1) x_i) * ln(1-p). Решив уравнение ( ln L)/( p) = 0, p^*=1/n * (n|i=1) x_i. (² ln L)/( p²) | p^* < 0 => оценка p^(П) (с крышкой) = 1/n * (n|i=1) x_i = m/n (где m – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли).

Интервальные оценки

Поскольку вычисленная на основе выборки оценка  (с крышкой) – лишь приблизительное значение неизвестного параметра , возникает необходимость указать такое , для которого выполнялось бы условие: P( с крышкой -  <  <  с крышкой + )=1- (заранее заданная вероятность, близкая к 1). При существовании подобного  интервал ( с крышкой - ,  с крышкой + ) называют интервальной оценкой параметра  или доверительным интервалом;  с крышкой -  - нижней,  с крышкой +  - верхней доверительными границами;  - ошибкой оценки  с крышкой, 1- - доверительной вероятностью (обычно используются значения 1-, равные 0,95; 0,99). Оценка  (с крышкой) – случайная величина, т.к. она является функцией случайной выборки;  также случайна: ее значение зависит от вероятности 1- и выборки. Границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Для получения доверительного интервала наименьшей длины при заданном объеме выборки n и заданной доверительной вероятности 1- в качестве оценки  (с крышкой) следует брать эффективную оценку.