Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, основная задача которого – оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным.

Генеральная совокупность – это весь мыслимый набор данных, описывающих какое-либо явление; строгое определение: это случайная величина X(), заданная на пространстве элементарных событий  с выделенным в нем полем событий S, для которых указаны их вероятности P. Более краткое определение: это генеральная случайная величина X() и связанное с ней вероятностное пространство (, S, P). Выборка объема n – это совокупный результат n независимых наблюдений за генеральной случайной величиной. Конкретная выборка x₁, …, x_n – это конечная последовательность чисел – реализации случайной величины X(). Случайная выборка – это последовательность X₁, …, X_n независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой их которых совпадает с распределением генеральной случайной величины. Распределение случайной выборки имеет вид F_{X1, …, Xn} (x₁, …, x_n)=P{X₁ < x₁, …, X_n < x_n}=П(n|i=1) P{X_i < x_i}=П(n|i=1) F_Xi(x_i).

Понятие оценки параметра, общие требования к оценке параметра

Оценкой параметра  случайной величины называется функция от выборочных значений  (с крышкой) (x₁, …, x_n), которая в некотором смысле близка к действительному значению . Качество оценки определяется по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайной выборке, а также по выполнению 3 основных условий (состоятельность, несмещенность, эффективность). Оценка  (с крышкой) называется состоятельной, если она сходится по вероятности к действительному значению: _n (с крышкой)  . Несостоятельные оценки не используются. Оценка  (с крышкой) называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно действительному значению: M( с крышкой) = . Это свойство желательно, но не обязательно. Оценка  (с крышкой) называется эффективной в определенном классе оценок  (с крышкой), если она самая точная среди оценок этого класса, т.е. имеет минимальную дисперсию: D(*) = min( с крышкой   с крышкой) D( с крышкой).

Выборочная оценка математического ожидания, ее свойства

Для случайной выборки математическое ожидание имеет вид: a (с крышкой) = 1/n*(n|i=1) X_i=X. Среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих дисперсию ², сходится по вероятности к математическому ожиданию (следствие из закона больших чисел): X  a => a (с крышкой) = X состоятельна.

Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Пусть закон распределения случайной величины X известен с точностью до числовых значений его параметров ₁, ₂, …, _k => известен вид функции плотности f_X(x, ), где =(₁, ₂, …, _k), если X непрерывна, но числовые значения k параметров не известны. Найдем оценку  (с крышкой) = (₁, ₂, …, _k – все с крышкой) параметра , располагая выборкой x₁, x₂, …, x_n. Пусть существует k начальных моментов, каждый из которых можно выразить через , и пусть такими моментами будут первый, второй, …, k-ый: ₁, ₂, …, _k. Выразим каждый из них через : _m=g_m()={{(x) x^m*P(X=x, ), если X дискретна, §(+|-) x^m*f_X(x, )*dx, если X непрерывна; m=1, 2, …, k}}. В системе _m=g_m (₁, ₂, …, _k), m=1, 2, …, k число уравнений должно быть равным числу k оцениваемых параметров. Выразим каждый параметр _m через ₁, ₂, …, _k => _m=h_m(₁, ₂, …, _k), m=1, 2, …, k. Заменим в полученном уравнении теоретические моменты ₁, ₂, …, _k на вычисленные при большом n выборочные моменты ₁, ₂, …, _k (все с крышкой). Оценками метода моментов параметров ₁, ₂, …, _k называются оценки _m^(M) (с крышкой) = h_m(₁, ₂, …, _k - все с крышкой), m=1, 2, …, k, где _j (с крышкой) = (n|i=1) x_i^j / n, j=1, 2, …, k.