Мода, медиана, квантили, квартили и децили распределения

Модой для абсолютно непрерывных распределений (M_oX) называется точка локального максимума функции плотности. Для нормального распределения: M_oX=MX; распределения, имеющие одну моду, называются одномодальными. Медиана для абсолютно непрерывных случайных величин (M_eX) – это граница, левее и правее которой находятся значения случайной величины с вероятностями, равными 0,5. Для нормального распределения M_eX=MX. Для дискретных случайных величин медиана находится на отрезке [x_l, _xl+1] при условии, что (l|i=1) p_i  0,5; (l+1|i=1) p_i > 0,5. Квантиль уровня p непрерывной случайной величины X – значение x_p, при котором функция распределения данной случайной величины F(x) принимает значение, равное p (x_p: F(x_p)=p, P(X < x_p)=p). Дополнительно: x_Me=x_0,5. Квартили для абсолютно непрерывных случайных величин (Q) – это границы, которые делят всю вероятность на 4 равные части (Q₁ – левая, Q₂ – центральная, равная медиане, Q₃ – правая квартили). Иногда используются децили, которые разделяют всю вероятность на 10 равных частей.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Сравнительно большое количество малых случайных величин имеет нормальное (или близкое к нормальному) распределение, которое имеет плотность типа (x)=1/(sqr(2))*e^{-1/2((x-a)/)^2}. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и  => XN(a, ). С геометрической точки зрения a – точка максимума плотности и центр симметрии; при увеличении a график смещается вправо, при уменьшении – влево. А при уменьшении  максимум плотности (x) увеличивается. При проведении некоторых математических операций и превращений делаем вывод, что параметр a – математическое ожидание, ² – дисперсия, а  - среднее квадратичное отклонение.

Нормированное нормальное распределение. Функция Лапласа. Правило 3 сигм

Нормированное нормальное распределение – это распределение нормированной случайной величины, т.е. величины дисперсия которой равна 1. Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратичное отклонение. Стандартная нормальная случайная величина – Z (центрированная – математическое ожидание которой равно 0 – и нормированная случайная величина) имеет плотность вида _Z(x)=1/(sqr(2))*e^{-x^2/2}. Функция Лапласа Ф(x)=1/sqr(2)*§(x|0) e^{-z^2/2}*dz (функция определена для любых - < x <  при Ф(-x)=-Ф(x)) используется для определения вероятности попадания на отрезок. Например, можно найти вероятность попадания XN(a, ) на отрезок [b, c]: P{b  X  c}=Ф((c-a)/)-Ф((b-a)/). Известно, что почти вся вероятность сосредоточена на отрезке a3: P{a-3  X  a+3}=P{-3  (X-a)/  3}=P{-3  Z  3}=2Ф(3)=0,9973. Вероятность попадания вне этого отрезка составляет всего 0,0027.

Локальная теорема Лапласа (n > 100)

Если вероятность (p) в каждом испытании постоянна и p0, p1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз (P_n(k))  1/(sqr(npq)) * 1/(sqr(2)) * e^{-x^2/2}=1/(sqr(npq))*f(x), где f(x) – плотность нормального стандартного закона. x=(k-np)/(sqr(npq)) – данная формула используется при npq  20.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность (p) удовлетворяет следующим условиям 0 < p < 1, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (P_n(k₁, k₂)) Ф(x₂)-Ф(x₁), где x₂=(k₂-np)/(sqr(npq)) и x₁=(k₁-np)/(sqr(npq)).