Биномиальное распределение; параметры, числовые характеристики

Биномиальная схема – это последовательность испытаний, удовлетворяющая следующим условиям: 1. при каждом испытании возможны только 2 исхода (правда или ложь); 2. испытания являются независимыми, т.е. P(k) не зависит от исхода i испытания (i < k); 3. вероятность успеха в каждом испытании одинакова: P(A)=const=p.

Последовательность испытаний (т.н. схема Бернулли) подразумевает конечное число n независимых испытаний, в каждом их которых может произойти определенное событие: успех или неудача; вероятности положительного исхода в каждом испытании одинаковы (например, производство изделий на определенном оборудовании, когда изготовление годного изделия – успех, бракованного – неудача). Т.о. вероятность общего элементарного исхода при наличии m успехов и n-m неудач: P()=p^m*q^n-m. Вероятность того, что в n испытаниях произошло m успехов: P_n(m) = C(m|n) * p^m * q^n-m.

Начальные и центральные теоретические моменты. Асимметрия и эксцесс

Начальный момент k-ого порядка – это математическое ожидание k-ой степени случайной величины: v_k=M(X)k, k=1, 2, … Первый начальный момент и есть математическое ожидание. Нормальная случайная величина полностью определяется первыми 2 начальными моментами, т.к. математическое ожидание и дисперсия случайной величины известны, а значит можно восстановить ее функции плотности и распределения. Центральный момент k-ого порядка – это математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания: _k=M(X-MX)^k. Второй центральный момент есть дисперсия: ₂=M(X-MX)²=DX. Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию: =₃/³. Коэффициент асимметрии для симметричных распределений равен 0, т.к. ₃=0.  < 0 для распределения скошенных влево,  > 0 – для скошенных вправо (например, показательное распределение). Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения по отношению к нормальному: =(₄)/(⁴)-3. Для нормального распределения (₄)/(⁴)=3.  > 0 для более островершинных,  < 0 для менее островершинных распределений.

Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины (дискретной и непрерывной). Основные свойства функции распределения. Геометрическая интерпретация

Значение функции вероятностей (при конкретном x) и есть одна и вероятностей типа P{: X() < x}, вся совокупность которых содержит сведения о распределении вероятностей по значениям случайной величины. Функция распределения в качестве числовой функции от числового аргумента x обладает следующими свойствами: 1. 0  F(x)  1 (значение функции распределения – это вероятность); 2. является неубывающей функцией, т.е. для x₂ > x₁ => F(x₂)  F(x₁); 3. непрерывна слева, т.е. F(x)=F(x-0)=lim (x_n  x; x_n < x) F(x_n); 4. F(-)=0, F(+)=1 (является следствием того, что {; X() < -}= и {; X() < +}=, а P()=0, P()=1. Основное свойство: P(x₁  X < x₂)=F(x₂)-F(x₁). Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x: приложение №1.2.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если ее функция распределения может быть представлена в виде F(x)=§(x|-) f(z)*d(z), где функция под интегралом – функция плотности вероятности, т.е. вероятность, приходящаяся на единицу длины в данной точке. Функция f(x) является функцией плотности только, когда интеграл от нее по всей числовой прямой равен 1: §(+|-) f(z)*d(z)=1. Функция распределения: F(x)=§(x|-) f(z)*d(z), когда функция плотности: f(x)=F’(x). Основные свойства: 1. математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины MX=§(+|-) x*f(x)*dx (f(x) – функция плотности); 2. дисперсия DX=M(X-MX)²=§(|-) (x-MX)²*f(x)*dx; 3. среднее квадратичное отклонение (при переходе от квадратных единиц измерения дисперсии к линейным единицам) =sqr(DX).