Аксиоматическое, статистическое и геометрическое определение вероятности

Аксиоматическое определение: поле событий – это совокупность таких подмножеств W(), которые удовлетворяют следующим условиям: 1.   W(); 2. A, B – произвольные элементы из W(), при этом A  W(), B  W(), AB  W(), A+B  W(). Вероятность события А – это любая функция P(A) со значениями во множестве действительных чисел R, удовлетворяющая 3 аксиомам: 1) P(A)  0; 2) P() = 1; 3) если АВ = 0 (события несовместны), то P(A+B) = P(A) + P(B). Статистическое определение: вероятность события А – это предел частоты события А при неограниченном увеличении числа опытов: P(A) = lim (n) n_A/n, где n – общее число опытов, n_А – число опытов, где появлялось событие А. Геометрическое определение: обобщает случай, когда  является либо частью прямой, плоскости или пространства.

Гипергеометрическое распределение

P(X=m) = (C(m|n) * C(M-m|N-n)) / C(M|N), где Х – кол-во объектов из М извлеченных из N объектов, обладающее определенным свойством (например, брак или годное изделие). Пример: дано N объектов, из них n – брак (обладают некоторым свойством), а (N-n) – годные изделия (не обладают данным свойством). Производим выборку М: дано – N | n (наличие св-ва) | N-n (отсутствие св-ва); выборка – M | m (наличие св-ва) | M-m (отсутствие св-ва). Используя вышеприведенную формулу распределения, мы можем найти вероятность того, что из М извлеченных объектов имеется m бракованных: P(А) = (C(m|n) * C(M-m|N-n)) / C(M|N).

Геометрическое распределение

P(X=k) = q_k-1*p. P(A)=p, P(A)=1-p=q. Испытания проводится до появления события А. X – число проведенных испытаний, X=1, 2, …, k, … X=k – событие А появилось во всех опытах. Геометрическое распределение: P(X=k) = q_k-1*p. X – 1 | 2 | 3 | k | …; P – p | qp | q²p | q^k-1p | …

Распределение Пуассона; параметры

При определенных условиях – n , p0, np - биномиальные вероятности ведут себя следующим образом: P_n(m) = C(m|n) * p^m * (1-p)^n-m = (разделим числитель и знаменатель на n^m) = (n(n-1)…(n-m+1)) / (m! n^m) * p^m*n^m * ((1-np/n)ⁿ) / ((1-p)^m) = … = ^m / m! * e^- = P(m). Подобные предельные вероятности называются пуассоновскими: = P(m) = ^m / m! * e^-. Основные параметры: n – велико, p – мало (< 0,1); np==const; X = кол-во успехов в n испытаниях (=0, 1, 2, …); при соблюдении этих условий (а также m  10): P_n(X=m) = ^m / m! * e^-.

Числовые характеристики дискретных случайных величин, их свойства

Математическое ожидание – это сумма (или среднее значение) произведений возможных значений случайной величины на соответствующие этим значениям вероятности: M(X) = (n|i=1) x_i*p_i (при n). Свойства математического ожидания: 1. математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной: M(C)=C; 2. const. Выносится за знак математического ожидания: M(CX)=C*M(X); 3. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=MX+MY; 4. математическое ожидание произведения независимых случайных величин: M(XY)=MX+MY; 5. математическое ожидание альтернативной случайной величины (которая описывает результат единичного испытания в схеме Бернулли) равно вероятности положительного исхода: M(X)=p (на основе ряда распределения альтернативной случайной величины); 6. математическое ожидание биномиальной случайной величины равно произведению числа испытаний на вероятность положительного исхода: M(X)=np; 7. математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно =np (пуассоновская случайная величина является предельной по отношению к биномиальной): M(X)=; 8. математическое ожидание геометрической случайной величины (число испытаний по схеме Бернулли до первого положительного исхода) обратно пропорционально вероятности положительного исхода: M(X)=1/p. Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания: DX=M(X-M(X))². Вторая формула дисперсии: DX=M(X)²-(MX)². Свойства дисперсии: 1. дисперсия постоянной равна 0: DC=0; 2. постоянная выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат: D(CX)²=C²*DX; 3. дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D(X+Y)=DX+DY; 4. дисперсия произведения независимых случайных величин X, Y равна разности произведения математических ожиданий квадратов случайных величин и произведения квадратов математических ожиданий случайных величин: D(XY)=MX²*MY²-(MX)²*(MY)²; 5-8. DX=pq (альтернативная); DX=npq (биномиальная); DX= (пуассоновская); DX=q/p² (геометрическая).