Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P(A) добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности P(A/B) – условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Формула условной вероятности: P(A/B)=P(AB)/P(B). Переписав эту формулу в виде P(AB)=P(A)*P(B/A) получаем формулу умножения для зависимых событий. Теорема умножения для независимых событий: событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. P(A/B)=P(A), и умножение вероятностей для подобных независимых событий выглядит: P(AB)=P(A)*P(B).

Независимые события. Несовместные события. Полная группа событий

Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. P(A/B)=P(A), и умножение вероятностей для подобных независимых событий выглядит: P(AB)=P(A)*P(B). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. Два события А и Б несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Это такие события, которые не содержат общих элементов. Полное событие («подкова») – это событие, которое включает в себя все n элементарные события (составные события), и вероятность которого равна 1: P(«подкова»)=n/n=1. Полная группа событий – это несовместные (появление одного из которых исключает появление другого) и единственно возможные события (несколько таких событий, что в результате эксперимента обязательно должно произойти одно из них). События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие: A_iA_j=, ij, U(n | i=1) A_i=.

Формула полной вероятности

Если события А₁, …, А_n, P(A_i) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В: P(B)=(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i). События полной группы A₁, …, A_n попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события ВА_i, BA_j при ij несовместны. Т.к. событие В можно представить в виде B=U(n | i=1) BA_i, то использовав аксиому сложения вероятностей, получим P(B)=( n | i=1) P(BA_i ). Используем формулу умножения вероятностей (P(AB)=P(A)*P(B/A)) => P(B)=(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i).

Формула Байеса

Из формулы полной вероятности (P(B)=(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i)) можно получить формулу Байеса для события В с P(B) > 0 и системы попарно несовместных событий А_i, P(A_i) > 0, B  U (n | i=1) A_i: P(A_k/B) = (P(A_k)*P(B/A_k)) /  (n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i). Используя формулы условной вероятности и умножения вероятностей: P(A_k/B) = (P(A_kB)) / P(B) = (P(A_k)*P(B/A_k)) / P(B). Заменим вероятность события В по формуле полной вероятности и получим формулу Байеса. Вероятности типа P(A_i) называют априорными вероятностями (вероятности до выполнения опыта), а условные вероятности этих событий P(A_i/B) – апостериорными (уточненными во время опыта вследствие появления события B).

Случайные величины. Типы случайных величин. Закон распределения вероятностей случайной дискретной величины. Многоугольник распределения

Случайная величина – это такая величина, которая в зависимости от исходов опыта может принимать то или иное численное значение, неизвестное нам до проведения опыта. Строгое определение: случайной величиной называют числовую функцию Х(), заданную на пространстве элементарных событий  и измеримую относительно поля событий S (измеримость: {: X() < x}  S, для любого - < x < ). Обозначаются они буквами X, Y, X и т.п. Типы случайных величин: многомерные; одномерные: непрерывные (случайная величина, принимающая непрерывное множество значений);

дискретные (случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений на числовой прямой): номинальные; порядковые; количественные (также и к непрерывным с.в.). Данный закон выражается соответствием между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Табличный метод: X – x₁, x₂, x_i, x_n; P – p₁, p₂, p_i, p_n; при этом  (n | i=1) P_i=1. Метод многоугольника распределения: по оси Y – P_i, по оси X – x (см. в задаче далее). Задача: выпущено 100 билетов. 1 билет – 50 руб., 10 билетов – по 1 руб. выигрыша. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца 1 билета. Решение: возможные значения x: 0, 1, 50 (руб.) => X – 0 | 1 | 50; P – 0,89 | 0,1 | 0,01. Многоугольник распределения выглядит так: приложение №1.1.