Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
maths_exam_papers.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
190.98 Кб
Скачать

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P(A) добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности P(A/B) – условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Формула условной вероятности: P(A/B)=P(AB)/P(B). Переписав эту формулу в виде P(AB)=P(A)*P(B/A) получаем формулу умножения для зависимых событий. Теорема умножения для независимых событий: событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. P(A/B)=P(A), и умножение вероятностей для подобных независимых событий выглядит: P(AB)=P(A)*P(B).

Независимые события. Несовместные события. Полная группа событий

Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. P(A/B)=P(A), и умножение вероятностей для подобных независимых событий выглядит: P(AB)=P(A)*P(B). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. Два события А и Б несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Это такие события, которые не содержат общих элементов. Полное событие («подкова») – это событие, которое включает в себя все n элементарные события (составные события), и вероятность которого равна 1: P(«подкова»)=n/n=1. Полная группа событий – это несовместные (появление одного из которых исключает появление другого) и единственно возможные события (несколько таких событий, что в результате эксперимента обязательно должно произойти одно из них). События А1, А2, …, Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие: AiAj=, ij, U(n | i=1) Ai=.

Формула полной вероятности

Если события А1, …, Аn, P(Ai) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В: P(B)=(n | i=1) P(Ai)*P(B/Ai). События полной группы A1, …, An попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события ВАi, BAj при ij несовместны. Т.к. событие В можно представить в виде B=U(n | i=1) BAi, то использовав аксиому сложения вероятностей, получим P(B)=( n | i=1) P(BAi ). Используем формулу умножения вероятностей (P(AB)=P(A)*P(B/A)) => P(B)=(n | i=1) P(Ai)*P(B/Ai).

Формула Байеса

Из формулы полной вероятности (P(B)=(n | i=1) P(Ai)*P(B/Ai)) можно получить формулу Байеса для события В с P(B) > 0 и системы попарно несовместных событий Аi, P(Ai) > 0, B  U (n | i=1) Ai: P(Ak/B) = (P(Ak)*P(B/Ak)) /  (n | i=1) P(Ai)*P(B/Ai). Используя формулы условной вероятности и умножения вероятностей: P(Ak/B) = (P(AkB)) / P(B) = (P(Ak)*P(B/Ak)) / P(B). Заменим вероятность события В по формуле полной вероятности и получим формулу Байеса. Вероятности типа P(Ai) называют априорными вероятностями (вероятности до выполнения опыта), а условные вероятности этих событий P(Ai/B) – апостериорными (уточненными во время опыта вследствие появления события B).

Случайные величины. Типы случайных величин. Закон распределения вероятностей случайной дискретной величины. Многоугольник распределения

Случайная величина – это такая величина, которая в зависимости от исходов опыта может принимать то или иное численное значение, неизвестное нам до проведения опыта. Строгое определение: случайной величиной называют числовую функцию Х(), заданную на пространстве элементарных событий  и измеримую относительно поля событий S (измеримость: {: X() < x}  S, для любого - < x < ). Обозначаются они буквами X, Y, X и т.п. Типы случайных величин: многомерные; одномерные: непрерывные (случайная величина, принимающая непрерывное множество значений);

дискретные (случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений на числовой прямой): номинальные; порядковые; количественные (также и к непрерывным с.в.). Данный закон выражается соответствием между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Табличный метод: X – x1, x2, xi, xn; P – p1, p2, pi, pn; при этом  (n | i=1) Pi=1. Метод многоугольника распределения: по оси Y – Pi, по оси X – x (см. в задаче далее). Задача: выпущено 100 билетов. 1 билет – 50 руб., 10 билетов – по 1 руб. выигрыша. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца 1 билета. Решение: возможные значения x: 0, 1, 50 (руб.) => X – 0 | 1 | 50; P – 0,89 | 0,1 | 0,01. Многоугольник распределения выглядит так: приложение №1.1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]