Критерий согласия 2 Пирсона

Пусть F_мод(x; ₁, …, _s) – некоторое модельное распределение. Критерий согласия используется для проверки нулевой гипотезы вида H₀: F_X(x)  F_мод(x; ₁, …, _s) на основании выборки наблюдений X: x₁, x₂, …, x_n. Различают 2 случая: 1. непрерывный (ИВР) и 2. дискретный (ДВР). См. приложение №2.4. 1. k – кол-во интервалов группирования; n_i – кол-во наблюдений, попавших в i-ый интервал (C_i-1-C_i] – наблюдаемая частота; n – объем выборки наблюдений; F_мод(x; ₁, …, _s);  (с крышкой) = (₁, ₂, …, _s – все с крышкой) – вариационный ряд оценок неизвестных параметров F_мод(x; ₁, …, _s); P_i( с крышкой) – вероятность для X принять значение в i-ом интервале. P_i( с крышкой) = P(C_i-1 < X  C_i) = F_мод(C_i,  с крышкой) – F_мод(C_i-1,  с крышкой). np_i( с крышкой) = n_i^T – теоретическая (ожидаемая) частота. X²=(k | i=1) (n_i-n_i^T)² / n_i^T. 2. k – кол-во различных наблюдаемых значений. P_i( с крышкой) = P(X=Z_i) = F_мод(Z_i+1;  с крышкой) – F_мод(Z_i;  с крышкой). Если H₀ – действительно истина, то x²²(k-l-1), при этом n; l – кол-во оцениваемых параметров F_мод(x;  с крышкой).

Начальные и центральные моменты вариационного ряда

Начальный момент _k k-ого порядка вариационного ряда определяется по формуле _k = ((m/i=1) x_i^k*n_i)/n. _k = x (средняя арифметическая является начальным моментом 1-ого порядка вариационного ряда). Центральный момент _k k-ого порядка вариационного ряда определяется по формуле: _k = ((m/i=1) (x_i – x)^k n_i)/n. ₁=0, ₂=S² (центральный момент 1-ого порядка равен 0, а 2-ого порядка – дисперсии вариационного ряда). Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию: =₃/³. Коэффициент асимметрии для симметричных распределений равен 0, т.к. ₃=0.  < 0 для распределения скошенных влево,  > 0 – для скошенных вправо (например, показательное распределение). Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения по отношению к нормальному: =(₄)/(⁴)-3. Для нормального распределения (₄)/(⁴)=3.  > 0 для более островершинных,  < 0 для менее островершинных распределений. Дополнение: средняя арифметическая x и дисперсия S² (характеристики вариационного ряда) являются статистическими аналогами математического ожидания M(X) и дисперсии ².

Методы получения точечных оценок параметров распределения

Метод моментов: определенное кол-во выборочных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины X. Метод max правдоподобия: в качестве нахождения оценки неизвестного параметра принимается такое значение, которое максимизирует функцию правдоподобия. Метод наименьших квадратов: оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определенной оценки.