Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Необходимо проверить 2 условные значимости (). H₀: M(X)=m₀, где M(X) - XN(m; ²); H₁: M(X)m₀. Дана выборка X: x₁, x₂, …, x_n и ²=₀². T_эмпир=(x-m₀)/(₀/sqr(n))  N(0;1). См. приложение №2.2. Распределение T_n имеет вид N(0;1), если H₀ верна. _Z1-/2 – квантиль стандартного нормального распределения уровня (1-/2). K={|T_эмпир| > Z_1-/2}; D={|T_эмпир|  Z_1-/2}.

Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Проверка гипотезы о числовом значении M(X), XN(m; ²) при неизвестной дисперсии ². XN(m; ²); H₀: m=a, H₁: ma; =const. T_эмпир=(x-m₀)/(S – с крышкой/sqr(n))  T(n-1), где T – распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы. K={|T_эмпир| > T_1-/2(n-1)}; D={|T_эмпир| < T_1-/2(n-1)}.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений

Дано: =const; H₀: ₁²=₂² при H₁: ₁²₂², где _i²=D(_i), i=1, 2, …, n => X_iN(m_i; _i²) при этом m_i – неизвестно. Решение: X₁: x₁⁽¹⁾, …, x_n1⁽¹⁾ и X₂: x₂⁽²⁾, …, x_n2⁽²⁾. На основе выборочных данных S₁² (с крышкой) и S₂² (с крышкой) => статистика F=S₁² (с крышкой) / S₂² (с крышкой). Если H₀ справедлива, то F~F(n₁-1; n₂-1). D={_/2 (n₁-1; n₂-1)  F  _1-/2(n₁-1; n₂-1)}. K=(D). Если вычисленное FD, то H₀ – принимается. См. приложение №2.3.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений при известных дисперсиях

Для =const проверяем H₀: m₁=m₂; H₁: m₁m₂, где m_i=M(X_i), i=1, 2, …, n. X_i~N(m_i; _i²). Дана выборка: X₁: x₁⁽¹⁾, …, x_n1⁽¹⁾ => X₁ и X₂: x₂⁽²⁾, …, x_n2⁽²⁾ => X₂. ₁² и ₂² известны. Решение: X₁~N(m₁; ₁²/n₁) и X₂~N(m₂; ₂²/n₂). Статистика T=(X₁-X₂)/(sqr(₁²/n₁ + ₂²/n₂)) ~ N(0; 1) при условии H₀ справедлива. sqr(₁²/n₁ + ₂²/n₂ – это с.к.о. для случайной величины (X₁-X₂). D(X₁-X₂)=D(X₁)+D(X₂) => T_крит=Z_1-/2. Если |T| > T_крит, то средние значения сильно различаются => H₀ отвергается.

Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события

Дано: n независимых испытаний, X~B_i(p); пусть в (m) из (n) испытаний событие A появилось w=m/n; P(A)=p₀. Необходимо при заданном () проверить H₀: p=p₀; H₁: pp₀. Установить: значимо или незначимо различаются наблюдаемое (w) и гипотетическая вероятность (p₀). Решение: T=(m/n – p₀)/(sqr((p₀*(1-p₀))/n) ~ N(0;1). X_i – кол-во появлений события A в i-ом испытании (i=1, 2, …, n): X_i – 0 | 1; p – (1-p₀) | p₀. m/n= X_i / n = x. M(X_i)=p₀; M(X)=p₀ => m/n – p₀ = X-M(X). D(X_i)=p₀-p_o²=p₀*(1-p₀)=p₀*q₀; D(X)=(p₀*q₀)/n. T_крит=Z_1-/2 => если |T| > T_крит, то H₀ отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений при неизвестных, но равных дисперсиях

Для =const проверяем H₀: m₁=m₂; H₁: m₁m₂, где m_i=M(X_i), i=1, 2, …, n. X_i~N(m_i; _i²), при этом ₁² = ₂² и ₁² неизвестно. Решение: S_p²=((n₁-1)*S₁² (с крышкой) + (n₂-1)*S₂² (с крышкой)) / (n₁+n₂-2); T=(X₁-X₂) / (sqr(S_p²*(1/n₁ + 1/n₂))) ~ T(n₁+n₂-2). T_крит(критическое значение) = t_1-/2(квантиль Стьюдента) (n₁+n₂-2) => если |T| > T_крит, то H₀ отвергается.

Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

I. n₁ независимых испытаний | событие A появилось m₁ раз | P(A)=p₁ | W₁=m₁/n₁;

II. n₂ независимых испытаний | событие A появилось m₂ раз | P(A)=p₂ | W₂=m₂/n₂;

 - const. H₀: p₁=p₂; H₁: p₁p₂. Решение: p (с крышкой) = (m₁+m₂)/(n₁+n₂) – объединенная оценка; q (с крышкой) = 1-p (с крышкой) = 1 - (m₁+m₂)/(n₁+n₂). T=(m₁/n₁ – m₂/n₂) / sqr((m₁+m₂)/(n₁+n₂) * (1 - (m₁+m₂)/(n₁+n₂)) * (1/n₁ + 1/n₂)) = (W₁-W₂) / sqr(p – с крышкой * q – с крышкой * (1/n₁ + 1/n₂)) ~ N(0, 1). Т.к. n, то по центральной предельной теореме сумма (T) ~ N(0;1). T_крит=Z_1-/2; если |T| > T_крит, то H₀ отвергается.