Статистическая гипотеза. Проверка статистических гипотез. Нулевая гипотеза, альтернативная гипотеза. Примеры статистических гипотез

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным. Примеры статистических гипотез: 1. нормально распределенная случайная величина X имеет генеральную среднюю a, равную a₀; 2. нормально распределенная случайная величина X имеет дисперсию, равную ₀²; 3. нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание, равное 5. Обычно выделяют некоторую нулевую гипотезу (H₀). Наряду с ней рассматривают конкурирующую или альтернативную гипотезу (H₁), которая является логическим отрицанием H₀ (H₀: M(X)=5, H₁: M(X)5). Правило по которому решают какую гипотезу принять, а какую отклонить, называют критерием. Все выборочное пространство делится на 2 взаимодополняющие области – область S отклонения основной гипотезы H₀ (т.н. критическая область) и область S принятия этой гипотезы. Если выборочная точка x попала в S, то основная гипотеза H₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁ и соответственно обратно. При этом однако имеют место т.н. ошибки 1-ого и 2-ого рода.

Ошибки 1-ого и 2-ого рода. Статистический критерий. Уровень значимости и мощность критерия

Ошибка 1-ого рода (): гипотеза H₀ отвергается, когда в действительности она верна - =P(H₁/H₀), где P(H₁/H₀) – вероятность того, что будет принята гипотеза H₁, если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза H₀;  называют уровнем значимости и обычно для  используют некоторые стандартные значения (0,01; 0,005).

Ошибка 2-ого рода (): гипотеза H₀ принимается, когда в действительности она не верна - =P(xS/H₁)=(H₀/H₁). Правильное решение можно представить в таблице: см. приложение№2.1. ^*- вероятность данного решения 1- называют мощностью критерия. Критерий называется наиболее мощным, если из всех возможных критериев с заданным уровнем значимости  он обладает наибольшей мощностью, т.е. если его критическая область S^* удовлетворяет условию: P(xS^*/H₁)=max_SP(xS/H₁), max берется по тем S, для которых P(xS/H₀)=. Наиболее мощный критерий гарантирует при заданной вероятности  ошибки I рода наименьшую вероятность  ошибки II рода. Статистическим критерием называют такую функции выборочных наблюдений, зависящую от H₀, распределение которой полностью известно, если гипотеза H₀ верна.

Критическая и допустимая области. Общая схема проверки гипотезы

Правило по которому решают какую гипотезу принять, а какую отклонить, называют критерием. Все выборочное пространство делится на 2 взаимодополняющие области – область S отклонения основной гипотезы H₀ (т.н. критическая область) и область S принятия этой гипотезы. Если выборочная точка x попала в S, то основная гипотеза H₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁ и соответственно обратно. Еще одно определение критической области: если значение (x-a₀)/(/sqr(n)) статистики Z удовлетворяет неравенству |Z| < u_, гипотезу H₀: a=a₀ принимают. Т.о. область отклонения гипотезы H₀ имеет вид (-, -u_)U(u_, +) и называется критической областью значений статистики Z. Общая схема проверки гипотезы H₀: 1) выбирается критерий; 2) задается уровень  (ошибка I рода) => при заданном  определяется критическая область (K): P(T  K / H₀) =  (таблица распределения T-критерия). Вся область значений разбивается на 2 части: область D, где H₀ принимается; область K, где H₀ отвергается; 3) по результатам наблюдений (n) вычисляется значение критерия T_эмпир=T_n(x₁, …, x_n) => если T_эмпир принадлежит K, то H₀ отклоняется; если T_эмпир принадлежит D, то H₀ не отклоняется (в данном случае мы говорим, что наши данные не противоречат нашему предположению – но не можем сказать, что H₀ принимается).