Доверительный интервал и доверительная вероятность

Поскольку вычисленная на основе выборки оценка  (с крышкой) – лишь приблизительное значение неизвестного параметра , возникает необходимость указать такое , для которого выполнялось бы условие: P( с крышкой -  <  <  с крышкой + )=1- (заранее заданная вероятность, близкая к 1). При существовании подобного  интервал ( с крышкой - ,  с крышкой + ) называют доверительным интервалом;  с крышкой -  - нижней,  с крышкой +  - верхней доверительными границами;  - ошибкой оценки  с крышкой, 1- - доверительной вероятностью (выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями; обычно используются значения 1-, равные 0,95; 0,99).

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной величины при известной дисперсии

X  N (a, ) – значение параметра a неизвестно, значение дисперсии ² известно. При X  N (a, ) эффективной оценкой параметра a является X (при этом X  N (a, /sqr(n))). Статистика Z=(X-a)/(/sqr(n)) имеет распределение N(0;1), которое не зависит от параметра a. С учетом неравенства _ < ( с крышкой, ) < _ (со знаком вектора) – неравенство при построении доверительного интервала – и симметричности двусторонних критических границ распределения N(0;1) => P(-u_ < Z < u_)=1-. Решим неравенство в скобках вероятности относительно a => неравенство X-u_ /sqr(n) < a < X+u_ /sqr(n), которое выполняется с вероятностью 1- (при этом = u_ /sqr(n), что соответствует u_=(*sqr(n))/). Значение u_ находят в таблице значений функции Лапласа из условия Ф(u_)=(1-)/2.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной величины при неизвестной дисперсии

X  N (a, ) – значение параметров a и дисперсии ² не известны. По случайной выборке найдем эффективность параметра a: X и оценку s²=1/(n-1)*(n|i=1) (X_i-X)² параметра ². Построение интервальной оценки для a основано на статистике t(n-1)=(X-a)/(s/sqr(n)), которая при случайной выборке из генеральной совокупности имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы, которое не зависит от a и как функция параметра a непрерывна и монотонна. С учетом неравенства _ < ( с крышкой, ) < _ (со знаком вектора) – неравенство при построении доверительного интервала – и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента => P(-t_ < t(n-1) < t_)=1-. Решим неравенство в скобках вероятности относительно a => неравенство X-t_s/sqr(n) < a < X+t_s/sqr(n), которое выполняется с вероятностью 1- (при этом ошибка оценки X при неизвестном значении параметра ²: =t_s/sqr(n)). Значение t_ находят в специальной таблице значений из условия k=n-1 и p=.

Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины

Эффективной оценкой дисперсии в этом случае является s₀²=1/n*(n|i=1) (X_i-a)². Используются 2 варианта интервальной оценки для ² (). 1. В основе статистика ²(n)=n*s₀²/², которая имеет распределение ² с n степенями свободы, независящее от параметра ² и как функция параметра ² > 0 непрерывна и монотонна. С учетом неравенства _ < ( с крышкой, ) < _ (со знаком вектора) – неравенство при построении доверительного интервала – и симметричности двусторонних критических границ распределения => P(_² < ²(n) < _² (со знаком вектора))=1-, где _² и _² (со знаком вектора) – двусторонние критические границы ² распределения с n степенями свободы. Решим неравенство относительно ² => неравенство sqr(ns₀² / _² (со знаком вектора)) <  < sqr(ns₀² / _²). Значения _² и _² (со знаком вектора) находят в специальной таблице при условии k=n, p=/2 и p=1-/2. 2. В основе нахождение интервальной оценки для  при заданной надежности 1- в виде s₀ max(0; 1-_) <  < s₀(1+_). Решим данное неравенство => P(s₀² max²(0; 1-_) < ² < s₀²(1+_)²)=1-, где _ - число, значение которого можно найти в специальной таблице при условии k=n и p=.